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MATEMÁTICA

BLOCO 9

EXERCÍCIOS

1. Sejam a, b e c as raízes de 2x3 – 30x2 + 15x – 3 = 0, 6. eu(qaImn2uTxAtea2ã)a–opC1rap,ooa1(ng2-e2s,ramei)d3sé,esaqriã4ugeoeeuoaauarlpm5iatosmalãinédoôtairmcseaarioaicsíopzeme(xsf)oaé=r4mx=a=a512xm–,51,a+.n3Sae=a4sxtb14ae,+onaard2d3o=xe-3ms2+e,,
1 1 1
encontre o valor de a + b + c e de a2 + b2 + c2.

(Sugestão: Para resolver o exercício solicitado, utilize
as relações de Girard)

2. (UEL) Dividindo-se o polinômio x4 + 2x3 – 2x2 – 4x – 21 a) –25
por x + 3, obtêm-se: b) –27
c) –36
a) x3 – 2x2 + x – 12 com resto nulo. d) –39
b) x3 – 2x2 + 3 com resto 16. e) –40
c) x3 – x2 –13x + 35 e resto 84.
d) x3 – x2 – 3x + 1 com resto 2. 7. (ITA) Um polinômio P é dado pelo produto de 5
e) x3 – x2 + x –7 e resto nulo. polinômios cujos graus formam uma progressão
geométrica. Se o polinômio de menor grau tem grau
3. (UNICAMP) Seja a um número real e seja: igual a 2 e o grau de P é 62, então o de maior grau tem
grau igual a
3 – x –1 √2
a) 30
p(x) = 0 a – x –1 b) 32
c) 34
0 4 1–x d) 36
e) 38
a) Para a = 1, encontre todas as raízes da equação p(x) = 0.
b) encontre todas as raízes da equação p(x) = 0 tem uma 8. (UNICAMP) Dada a equação polinomial com coeficientes
reais x3 – 5x2 + 9x – a = 0
única raiz real.
a) Encontre o valor numérico de a de modo que o número
4. (VUNESP) Seja x um número real positivo. O volume complexo 2 +i seja uma das raízes da referida equação.
de um paralelepípedo reto-retângulo é dado, em
função de x, pelo polinômio x3 – 7x2 + 14x + 8. Se uma b) Para o valor de a encontrado no item anterior, determine
aresta do paralelepípedo mede x + 1, a área da face as outras duas raízes da mesma equação.
perpendicular a esta aresta pode ser expressa por:
9. (UNICAMP) Para resolver equações do tipo x4 + ax3 +
a) x2 – 6x + 8 bx2 + ax + 1 = 0, podemos proceder do seguinte modo:
b) x2 + 14x + 8 como x = 0 não é uma raiz, divide-se a equação por x2
c) x2 + 7x + 8 e, após fazer a mudança de variáveis u = x + 1x , resolve-
d) x2 – 7x + 8 se a equação obtida [na variável u]. Observe que, se x Î
e) x2 + 6x + 8 A e x > 0, então u ≥ 2.

5. (ITA) Sejam α, β, Î A. Considere o polinômio p(x) dado a) Ache as quatro raízes da equação x4 – 3x3 + 4x2 –
por 3x + 1 = 0
x5 – 9x4 + (α – β – ) x3 + (α + 2β + 2 )
x2 + (α – β – + 1)x – (2α + β + – 1) b) Encontre os valores de para os quais a equação b Î A
para os quais a equação x4 – 3x2 + bx2 – 3x + 1 = 0
Encontre todos os valores α, β, de modo que x = 0 seja
uma raiz com multiplicidade 3 de p(x).

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