Page 30 - Производная

2.5 Производная вектора скорости

Давайте посмотрим теперь, чему равна производная вектора ~v. Пишем:

~
~
~v = v x i + v y j,
и снова используем формулу (38):
d~v
~
~
= ˙v x i + ˙v y j.
dt
Мы знаем, что ˙v x = a x и аналогично ˙v y = a y . Поэтому имеем:
d~v
~
~
= a x i + a y j.
dt
В правой части получился вектор ~a ускорения точки M:

d~v
= ~a. (40)
dt
Итак, производная вектора скорости точки это вектор её ускорения.

Обратите внимание, что формулы (39) и (40) уже не содержат упоминаний о координатах.
Это чисто векторные соотношения; они инвариантны в том смысле, что выполняются сами по
себе, безотносительно к какой-либо конкретной системе координат.
Более того, эти формулы справедливы не только на плоскости, но и в пространстве. До-
казать это можно тем же способом, каким мы действовали на плоскости, а именно ввести
систему координат. Выкладки окажутся полностью аналогичными (добавится лишь третье сла-
гаемое, отвечающее z-координате).

30