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4.2 PROPAGACIÓN DEL ERROR 97

~ ~ ~ ~ ~
Para n variables independientes x , x ,…, x teniendo errores ∆x , ∆x ,…, ∆x se
1
n
2
1
n
2
satisface la siguiente relación general:
f ∂ f ∂ f ∂
∆fx x( ˜ , ˜ ,… x , ˜ ) ≅ ∆x ˜ + ∆x ˜ + + ∆x ˜ n
x ∂
1
1
2
n
2
1 x ∂ 2 x ∂ n (4.27)
EJEMPLO 4.6 Propagación del error en una función con varias variables
Planteamiento del problema. La deflexión y de la punta de un mástil en un bote de
vela es
y = FL 4
8 EI
donde F = una carga lateral uniforme (lb/ft), L = altura (ft), E = el módulo de elasticidad
(lb/ft ), e I = el momento de inercia (ft ). Estime el error en y, dados los siguientes datos:
4
2
~ ~
F = 50 lb/ft ∆F = 2 lb/ft
~ ~
L = 30 ft ∆L = 0.1 ft
~ ~
E = 1.5 × 10 lb/ft ∆E = 0.01 × 10 lb/ft 2
2
8
8
~ ~
4
I = 0.06 ft ∆I = 0.0006 ft 4
Solución. Empleando la ecuación (4.27) se tiene
y ∂ y ∂ y ∂ y ∂
˜
˜
˜
˜ ˜ ˜ ˜
∆yF L E I( , , , ) = ∆F + ∆L + ∆E + ∆I ˜
∂ F ∂ L ∂ E I ∂
o
˜˜ 4
˜ 4
˜˜ 3
˜˜ 4
˜
˜
∆yF L E I( , , , ) ≅ L ∆F + FL ∆L + FL ∆E + FL ∆I ˜
˜
˜ ˜ ˜ ˜
˜˜
˜˜
˜˜
˜˜ 2
2
8 EI 2 EI 8 EI 8 EI
Al sustituir los valores apropiados se tiene
∆y = 0.0225 + 0.0075 + 0.00375 + 0.005625 = 0.039375
Por lo tanto, y = 0.5625 ± 0.039375. En otras palabras y está entre 0.523125 y 0.601875
ft. La validez de estas estimaciones se verifica sustituyendo los valores extremos para
las variables dentro de la ecuación que genera un mínimo exacto de
48 29 9 . ) 4
(
y mín = = 0 52407
.
8
8 1 51 ×10 0 0606
(.
) .
y
(
.
y máx = 52 30 1 . ) 4 = 0 60285
8
) .
(.
8 1 49 ×10 0 0594
Así, las estimaciones de primer orden están razonablemente cercanas de los valores
exactos.
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