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98 ERRORES DE TRUNCAMIENTO Y LA SERIE DE TAYLOR

La ecuación (4.27) se utiliza para definir relaciones en la propagación de errores
con las operaciones matemáticas comunes. Los resultados se resumen en la tabla 4.3. Se
deja el desarrollo de estas fórmulas como un ejercicio de tarea.

4.2.3 Estabilidad y condición
La condición de un problema matemático relaciona su sensibilidad con los cambios en
los datos de entrada. Se dice que un cálculo es numéricamente inestable si la inexactitud
de los valores de entrada se aumenta considerablemente por el método numérico.
Estas ideas pueden estudiarse usando una serie de Taylor de primer orden
~
~
~
f(x) = f(x) + f′(x)(x – x)
Esta relación se emplea para estimar el error relativo de f(x) como en
′
fx() – fx( ˜) fx x x( ˜)( – ˜)
≅
fx() fx( ˜)
El error relativo de x está dado por
xx– ˜
x ˜

TABLA 4.3 El error estimado relacionado con las
operaciones matemáticas comunes
~
~
usando números inexactos u y v.
Operación Error estimado
~ ~ ~ ~
Adición ∆(u + v) ∆u + ∆v
~
~
~
~
Sustracción ∆(u – v) ∆u + ∆v
~ ~
~
~ ~
~
Multiplicación ∆(u × v) |u|∆v + |v |∆u
⎛ ˜ u ⎞ uv∆ v ˜˜ u∆
˜˜ +
División ∆ ⎜ ⎟
˜ v ⎝ ⎠ 2
˜ v
Un número de condición puede definirse como la razón entre estos errores relativos
Número de condición = ˜ xf ′( ˜)x (4.28)
fx
( ˜)
El número de condición proporciona una medida de qué tanto una inexactitud de x se
aumenta por f(x). Un valor de 1 nos indica que el error relativo de la función es idéntico
al error relativo de x. Un valor mayor que 1 nos señala que el error relativo se amplifica;
mientras que para un valor menor que 1 nos dice que se atenúa. En funciones con valo-
res muy grandes se dice que están mal condicionadas. Cualquier combinación de los
factores en la ecuación (4.28), que aumente el valor numérico del número de condición,
tendería a aumentar inexactitudes al calcular f(x).

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