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712 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

TABLA PT7.1 Ejemplos de las leyes fundamentales que se escriben en términos
de la razón de cambio de variables (t = tiempo y x = posición).

Expresión
Ley matemática Variables y parámetros
Segunda ley de dv F Velocidad (v), la fuerza (F)
Newton del movimiento = y masa (m)
dt m
Ley del calor de Fourier dT Flujo de calor (q) conductividad
q = – k′ térmica (k′) y temperatura (T)
dx
Ley de difusión de Fick dc Flujo másico (J ), coefi ciente
J = – D de difusión (D) y concentación (c)
dx
Ley de Faraday Caída de voltaje (∆V L ),
(caída de voltaje ∆V = L di inductancia (L)
a través de un inductor) L dt y corriente (i)

En la tabla PT7.1 se muestran algunos ejemplos. Esas leyes definen mecanismos de
cambio. Cuando se combinan con las leyes de conservación de la energía, masa o mo-
mentum, resultan ecuaciones diferenciales. La integración subsecuente de estas ecua-
ciones diferenciales origina funciones matemáticas que describen el estado espacial y
temporal de un sistema en términos de variaciones de energía, masa o velocidad.
El problema del paracaidista en caída que se presentó en el capítulo 1 es un ejemplo
de la obtención de una ecuación diferencial ordinaria, a partir de una ley fundamental.
Recuerde que se utilizó la segunda ley de Newton para desarrollar una EDO que descri-
be la razón de cambio de la velocidad de un paracaidista en caída. Al integrar esta ex-
presión, obtenemos una ecuación para predecir la velocidad de caída como una función
del tiempo (figura PT7.2). Esta ecuación se utiliza de diferentes formas, entre ellas para
propósitos de diseño.

F = ma Ley física

dv = g – c v EDO
dt m

Analítica Numérica

gm c
v = (1– e –(c/m)t ) v i +1 = v i +(g – v i )t Solución
c m

FIGURA PT7.2
La secuencia de eventos en la aplicación de EDO para resolver problemas de ingeniería. El
ejemplo mostrado es la velocidad de un paracaidista en caída.

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