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CAPÍTULO 29

Diferencias fi nitas:

ecuaciones elípticas

En ingeniería, las ecuaciones elípticas se usan comúnmente para caracterizar problemas
en estado estacionario con valores en la frontera. Antes de mostrar la manera en que se
resuelven, ilustraremos cómo se deduce en un caso simple (la ecuación de Laplace), a
partir de un problema físico.

29.1 LA ECUACIÓN DE LAPLACE

Como se mencionó en la introducción de esta parte del libro, la ecuación de Laplace se
utiliza para modelar diversos problemas que tienen que ver con el potencial de una va-
riable desconocida. Debido a su simplicidad y a su relevancia en la mayoría de las áreas
de la ingeniería, usaremos una placa calentada para deducir y resolver esta EDP elíptica.
Se emplearán problemas académicos y problemas de la ingeniería (capítulo 32) para
ilustrar la aplicabilidad del modelo a otros problemas de ingeniería.
En la figura 29.1 se muestra un elemento sobre la cara de una placa rectangular
delgada de espesor ∆z. La placa está totalmente aislada excepto en sus extremos, donde
la temperatura puede ajustarse a un nivel preestablecido. El aislamiento y el espesor de
la placa permiten que la transferencia de calor esté limitada solamente a las dimensiones
x y y. En estado estacionario, el flujo de calor hacia el elemento en una unidad de tiem-
po ∆t debe ser igual al flujo de salida, es decir,
q(x) ∆y ∆z ∆t + q(y) ∆x ∆z ∆t = q(x + ∆x) ∆y ∆z ∆t + q(y + ∆y)∆x ∆z ∆t (29.1)

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donde q(x) y q(y) = los flujos de calor en x y y, respectivamente [cal/(cm · s)]. Dividien-
do entre ∆z y ∆t, y reagrupando términos, se obtiene
[q(x) – q(x + ∆x)] ∆y + [q(y) – q(y + ∆y)]∆x = 0
Multiplicando el primer término por ∆x/∆x, y el segundo por ∆y/∆y se obtiene

qx() – qx( + ∆ x) ∆∆ qy( ) – qy( + ∆ y) ∆∆ (29.2)
xy +
yx = 0
∆ x ∆ y
Dividiendo entre ∆x ∆y, y tomando el límite, se llega a
∂q ∂q
– – = 0 (29.3)
∂x ∂y
donde las derivadas parciales resultan de las definiciones en las ecuaciones (PT7.1) y
(PT7.2).

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