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29.2 TÉCNICA DE SOLUCIÓN 869

y
m +1, n +1
0, n +1

i, j + 1
i, j
i – 1, j i + 1, j
i, j – 1

0, 0
m +1, 0 x

FIGURA 29.3
Malla usada para la solución por diferencias fi nitas de las EDP elípticas en dos variables
independientes, como la ecuación de Laplace.

En la solución numérica, las representaciones por diferencias finitas basadas en
tratar la placa como una malla de puntos discretos (figura 29.3) se sustituyen por las
derivadas parciales en la ecuación (29.6). Como se describe a continuación, la EDP se
transforma en una ecuación algebraica en diferencias.

29.2.1 La ecuación laplaciana en diferencias

Las diferencias centrales basadas en el esquema de malla de la figura 29.3 son (véase
figura 23.3)
2
∂ T = T i +1 j, – 2T i j, + T i– 1 j,
∂x 2 ∆ x 2

y
2
∂ T = T ij, +1 – 2T ij, + T ij, 1 –
∂y 2 ∆ y 2

2
las cuales tienen errores de O[∆(x) ] y O[∆(y) ], respectivamente. Sustituyendo estas
2
expresiones en la ecuación (29.6) se obtiene
T i+1, j – 2 T + T i 1– , j + T ij+1, – 2 T + T ij 1, –
ij,
ij,
∆ x 2 ∆ y 2 = 0

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