Page 63 - Matematik Tambahan Tingkatan 5 KSSM

Pembezaan
Persamaan tangen dan normal kepada satu lengkung pada suatu titik

Pertimbangkan titik P(x , y ) dan titik R(x, y) yang terletak pada
1 1
garis lurus l dengan kecerunan m seperti yang ditunjukkan dalam Kecerunan m l
y – y
rajah di sebelah. Didapati bahawa kecerunan PR = 1 = m. R(x, y) BAB
x – x
1 2
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
Jadi, rumus bagi persamaan garis lurus l dengan kecerunan m P(x , y )
1
1
dan melalui titik P(x , y ) boleh ditulis sebagai:
1 1
y − y = m(x − x )
1 1
y
Rumus ini boleh digunakan untuk mencari persamaan tangen dan y = f(x)
persamaan normal kepada satu lengkung pada suatu titik tertentu. l 2
l
Dalam rajah di sebelah, garis l merupakan tangen kepada 1
1

lengkung y = f(x) pada titik P(a, f(a)). Kecerunan tangen bagi l

1
dy P(a, f(a))
ialah nilai bagi di x = a, iaitu f (a).
dx
Maka, persamaan bagi tangen ialah:
x
0
y – f (a) = f (a)(x – a)
Garis l pula berserenjang dengan tangen l dan disebut sebagai normal kepada lengkung
2 1

y = f(x) pada titik P(a, f(a)). Jika kecerunan tangen, f (a) wujud dan bukan sifar, kecerunan

1
bagi normal berdasarkan hubungan m m = –1 ialah – .
1 2 f (a)
Maka, persamaan bagi normal ialah:
1
y – f(a) = – (x – a)

f (a)
Contoh 14

3
2
Cari persamaan tangen dan normal kepada lengkung f(x) = x – 2x + 5 pada titik P(2, 5).
Penyelesaian
2
3
2
Diberi f(x) = x – 2x + 5, jadi f(x) = 3x – 4x.

y
Apabila x = 2, f(2) = 3(2) – 4(2) = 12 – 8 = 4 f(x) = x – 2x + 5
2
2
3

Kecerunan tangen pada titik P(2, 5) ialah 4.
10 tangen
Persamaan tangen ialah y – 5 = 4(x – 2)
8
y – 5 = 4x – 8
y = 4x – 3 6 P(2, 5)
1 4
Kecerunan normal pada titik P(2, 5) ialah – . normal
4
1 2
Persamaan normal ialah y – 5 = – (x – 2)
4 x
4y – 20 = –x + 2 0 2 4 6
4y + x = 22
2.4.2 53