Page 272 - 这才是数学
P. 272
在3×3×3的立方体中，立方体的最内层中间的地方是一面颜色
都不会涂的。只有6个立方体是单面涂颜色的，它们分别是外层六面
正方形最中间的那个立方体。有12个立方体的两面涂了颜色，它们分
别位于立方体的各条边上。有8个立方体的三面都涂有颜色，它们分
别位于立方体的8个角上面。
从更一般的角度来讲，对于1个n×n×n的立方体而言，让我们想
一想如何计算得到那些没有涂颜色的立方体个数。想象一下，将构成
n阶立方体最外层的小方块移开后。你将会得到里面一层的立方体，
但其每一维度的长度都会减少2，因为每一条边的两端都少了2个立方
体。这样就会形成（n-2）×（n-2）×（n-2）的立方体，其体积是
3
（n-2） 。对于单面涂有颜色的立方体，它们存在于每一面正方形的
内部。根据同样的道理，那是一个（n-2）×（n-2）的正方形，在每
2
一面都有（n-2） 个正方形，因此共有（n-2）×2个单面涂色的立方
体。对于两个面都涂有颜色的立方体来讲，它们存在于大立方体的12
条边上，但是在每条边上只有n-2个立方体满足该条件（想一想为什
么），总共有12（n-2）个立方体。最后，不论这个立方体有多大，
在其8个顶点处存在三面全是颜色的立方体，因此共有8个三面全是颜
色的立方体。
豌豆和碗的问题
将10粒豌豆分配到3个碗中共有多少种方法？尝试在每个碗中放
入的豌豆数量不相等。
解答：
解这道题目的方法有许多。一种方法是假设共有11粒豌豆，然后
看一看在第一个碗里可以放多少粒豌豆（想一想为什么是11粒豌豆而
不是10粒），然后再计算剩下的两个碗中豌豆的分配方案。我建议尝
