Page 51 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

图 1-1

图 1-1 中左侧的影子覆盖了 y 轴从 0 到 4 (包括 0 和 4) 的所有点,

也就是 [0, 4]; 另一方面, 右侧的影子覆盖了从 0 到 1 (包括 0 和 1)的

所有点, 也就是 [0, 1]. 右侧的影子没有贡献更多, 全部的覆盖范围仍

然是 [0, 4]. 这就是函数 F 的值域.

1.1.4 垂线检验

在上一节中, 我们利用一个函数的图像来求其值域. 函数的图像非常重

要：它真正地展示了函数 “看起来是什么样子的”. 在第 12 章, 我们将

会看到用来绘制函数图像的各种技巧, 但现在, 我很想提醒你注意的是

垂线检验.

你可以在坐标平面上画任何你想画的图形, 但结果可能不是一个函数的

图像. 那么函数的图像有什么特别之处呢？或者说, 什么是函数 f 的图

像呢？它是所有坐标为 (x, f (x)) 的点的集合, 其中 x 在 f 的定义域中.

还有另外一种方式来看待它. 我们以某个实数 x 开始. 如果 x 在定义域

中, 你就画点 (x, f (x)), 当然这个点在 x 轴上的点 x 的正上方, 高度为

f (x). 如果 x 没有在定义域中, 你不能画任何点. 现在, 对于每一个实数

x, 我们重复这个过程, 从而构造出函数的图像.

这里的关键思想是, 你不可能有两个点有相同的 x 坐标. 换句话

说, 在图像上没有两个点会落在相对于 x 轴的同一条垂线上. 要不然,