Page 127 - Chapra y Canale. Metodos Numericos para Ingenieros 5edición_Neat

PROBLEMAS 103

PROBLEMAS

4.1 La serie infinita la segunda derivada. Interprete sus resultados considerando el
x 2 x 3 x n término residual de la expansión en la serie de Taylor.
x
e =+ +1 x + + + 4.8 Recuerde que la velocidad de caída del paracaidista puede
2 3! n!
calcularse con [ecuación (1.10)]
x
se utiliza para aproximar e .
a) Muestre que la expansión en serie de Maclaurin es un caso v()t = gm ( – e1 –( / )cmt )
especial de la expansión en la serie de Taylor [ecuación c
(4.7)] con x i = 0 y h = x.
–x
b) Use la serie de Taylor para estimar f(x) = e en x i+1 = 1 para Use un análisis de error de primer orden para estimar el error de
x i = 0.25. Emplee versiones de cero, primero, segundo y v para t = 6, si g = 9.8 y m = 50, pero c = 12.5 ± 2.
tercer orden, y calcule |ε t | para cada caso. 4.9 Repita el problema 4.8 con g = 9.8, t = 6, c = 12.5 ± 1.5 y m
4.2 La expansión en serie de Maclaurin para cos x es = 50 ± 2.
4.10 La ley de Stefan-Boltzmann se utiliza para estimar la ve-
x 2 x 4 x 6 x 8 locidad de cambio de la energía H para una superficie, esto es,
cosx = 1 – + – + –
2 ! 4 ! 6 ! 8
H = AeσT 4
Iniciando con el primer término cos x = 1, agregue los términos
2
uno a uno para estimar cos (p/4). Después de que agregue cada donde H está en watts, A = área de la superficie (m ), e = la
uno de los términos, calcule los errores relativos porcentuales emisividad que caracteriza la propiedad de emisión de la super-
exactos y aproximados. Use una calculadora para determinar el ficie (adimensional), σ = una constante universal llamada cons-
–4
–8
–2
valor exacto. Agregue términos hasta que el valor absoluto del tante de Stefan-Boltzmann (= 5.67 × 10 W m K ) y T =
error aproximado se encuentre dentro de cierto criterio de error, temperatura absoluta (K). Determine el error de H para una
2
considerando dos cifras significativas. placa de acero con A = 0.15 m , e = 0.90 y T = 650 ± 20. Com-
4.3 Repita los cálculos del problema 4.2, pero ahora usando la pare los resultados con el error exacto. Repita los cálculos pero
expansión de la serie de Maclaurin para sen x, con T = 650 ± 40. Interprete los resultados.
4.11 Repita el problema 4.10, pero para una esfera de cobre con
x 3 x 5 x 7
sen x = – + – + radio = 0.15 ± 0.01 m, e = 0.90 ± 0.05 y T = 550 ± 20.
x
! 3 ! 5 ! 7 4.12 Evalúe e interprete los números de condición para
para evaluar el sen (p/4). a) fx() = x – +1 1 para x = 1.0001
4.4 Emplee la expansión de la serie de Taylor de cero hasta
b) f(x) = e –x para x = 9
tercer orden para predecir f(2) si
3
2
f(x) = 25x – 6x + 7x – 88 c) fx() = x +1 – x para x = 300
2
usando como punto base x = 1. Calcule el error relativo porcen- x
tual verdadero e t para cada aproximación. d) fx() = e –1 para x = 0.001
4.5 Use la expansión de la serie de Taylor de cero al cuarto orden x
para estimar f(3) si f(x) = ln x utilizando x = 1 como punto base. e) fx () = sen x para x = 1.0001p
Calcule el error relativo porcentual e t para cada aproximación. 1+ cos x
Analice los resultados. 4.13 Empleando las ideas de la sección 4.2, muestre las relacio-
4.6 Utilice aproximaciones en diferencias de O(h) hacia atrás y nes de la tabla 4.3.
2
hacia adelante y una aproximación de diferencia central de O(h ) 4.14 Muestre que la ecuación (4.4) es exacta para todos los
2
para estimar la primera derivada de la función mencionada en el valores de x, si f(x) = ax + bx + c.
problema 4.4. Evalúe la derivada en x = 2 usando un tamaño del 4.15 La fórmula de Manning para un canal rectangular se escri-
incremento 0.2. Compare los resultados con el valor exacto de be como
las derivadas. Interprete los resultados considerando el término 1 ( BH) 53/ 12/
residual de la expansión en la serie de Taylor. Q = n B + 2 H) 23/ S
(
2
4.7 Con la aproximación en diferencias centrales de O(h ) esti-
me la segunda derivada de la función examinada en el problema donde Q = flujo (m /s), n = coeficiente de rugosidad, B = ancho
3
4.4. Realice la evaluación para x = 2 usando un tamaño de incre- (m), H = profundidad (m) y S = pendiente. Aplique la fórmula
mento 0.25 y 0.125. Compare lo estimado con el valor exacto de para un arroyo donde se conoce que el ancho = 20 m y la profun-

6/12/06 13:44:48
Chapra-04.indd 103 6/12/06 13:44:48
Chapra-04.indd 103