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506 INTERPOLACIÓN

18.1.2 Interpolación cuadrática

En el ejemplo 18.1 el error resulta de nuestra aproximación a una curva mediante una
línea recta. En consecuencia, una estrategia para mejorar la estimación consiste en intro-
ducir alguna curvatura a la línea que une los puntos. Si se tienen tres puntos como datos,
éstos pueden ajustarse en un polinomio de segundo grado (también conocido como poli-
nomio cuadrático o parábola). Una forma particularmente conveniente para ello es
(x) = b + b (x – x ) + b (x – x )(x – x ) (18.3)
f 2 0 1 0 2 0 1
Observe que aunque la ecuación (18.3) parece diferir del polinomio general [ecuación
(18.1)], las dos ecuaciones son equivalentes. Lo anterior se demuestra al multiplicar los
términos de la ecuación (18.3):

2
f (x) = b + b x – b x + b x + b x x – b xx – b xx 1
1 0
1
2
0
2
2 0 1
0
2
2
o, agrupando términos,
f (x) = a + a x + a x 2
1
2
2
0
donde
a = b – b x + b x x
l 0
0
0
2 0 1
a = b – b x – b x
1
1
2 1
2 0
a = b 2
2
Así, las ecuaciones (18.1) y (18.3) son formas alternativas, equivalentes del único poli-
nomio de segundo grado que une los tres puntos.
Un procedimiento simple puede usarse para determinar los valores de los coeficien-
tes. Para encontrar b , en la ecuación (18.3) se evalúa con x = x para obtener
0
0
b = f(x ) (18.4)
0
0
La ecuación (18.4) se sustituye en la (18.3), después se evalúa en x = x para tener
1
x –
b = ƒ() ƒ( x ) (18.5)
0
1
1
x – x 0
1
Por último, las ecuaciones (18.4) y (18.5) se sustituyen en la (18.3), después se evalúa en
x = x y (luego de algunas manipulaciones algebraicas) se resuelve para
2
x –
x
ƒ() – ƒ( x ) − ƒ() ƒ( x )
0
1
1
2
b = x – x 1 x – x 0 (18.6)
1
2
2
x – x 0
2
Observe que, como en el caso de la interpolación lineal, b todavía representa la
1
pendiente de la línea que une los puntos x y x . Así, los primeros dos términos de
1
0
la ecuación (18.3) son equivalentes a la interpolación lineal de x a x , como se especi-
1
0
ficó antes en la ecuación (18.2). El último término, b (x – x )(x – x ), determina la cur-
1
2
0
vatura de segundo grado en la fórmula.
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