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21.1 LA REGLA DEL TRAPECIO 621

integrales impropias y para obtener la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Este capítulo enfatiza las formas cerradas. No obstante, al final del mismo se presenta
brevemente una introducción a las fórmulas abiertas de Newton-Cotes.

21.1 LA REGLA DEL TRAPECIO

La regla del trapecio es la primera de las fórmulas cerradas de integración de Newton-
Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio de la ecuación (21.1) es de primer grado:
I = ∫ b f xdx ≅() ∫ b f xdx()
a a 1
Recuerde del capítulo 18 que una línea recta se puede representar como [véase ecuación
(18.2)]
fx() = f a( ) + fb() – f a( ) x (– a) (21.2)
1
ba–
El área bajo esta línea recta es una aproximación de la integral de f(x) entre los límites
a y b:
b
I = ∫ a ⎣ ⎡ ⎢ f a +() fb() – f a( ) x (– a) ⎤ ⎥ ⎦ dx
ba–
El resultado de la integración (véase el cuadro 21.1 para detalles) es

fa +() f b( )
b a)
I = (– (21.3)
2
que se denomina regla del trapecio.

Cuadro 21.1 Obtención de la regla del trapecio

Antes de la integración, la ecuación (21.2) se puede expresar I = fb() – f a x( ) 2 + bf a() – af b( ) x b
como ba– 2 ba– a
fx() = fb() – f a( ) x + f a() – af b() – af a( ) Este resultado se evalúa para dar:
1
ba– ba– fb () – ( b – a ) bf a ( ) – af b ( )
2
2
f a) (
I = + (–
ba)
–
–
Agrupando los últimos dos términos: ba 2 ba
2
2
fx() = fb() – f a( ) x + bf a () – af a () – af b ( ) + af a () Ahora, como b – a = (b – a)(b + a),
1
–
ba– ba ba+
I = [ f b( )– f a( )] + bf a( )– af b( )
2
o
Multiplicando y agrupando términos se tiene:
fx() = fb() – f a( ) x + bf a () – af b ( ) fa +() f b( )
b a)
1 I = (–
ba– ba
–
2
la cual puede integrarse entre x = a y x = b para obtener: que es la fórmula para la regla del trapecio.
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