Page 113 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

还有一个问题, 就是如何取大于 2π 或小于 0 的角的三角函数. 事实

上, 这并不太难, 简单地加上或减去 2π 的倍数, 直到你得到的角在 0

和 2π 之间. 你看, 它并不是在 2π 就完了. 它是一直在旋转. 例如, 如

果我让你站在一点面向正东, 然后逆时针方向旋转 450°, 一种自然的

做法是, 你旋转一整周, 然后再旋转 90°. 现在你应该是面向正北. 当

然, 另一种不那么头晕目眩的做法是, 你只逆时针方向旋转 90°, 而你

面向的是同样的方向. 因此, 450° 和 90° 是等价的角. 当然, 这对于

弧度来说也一样. 这种情况下, 5π/2 弧度和 π/2 弧度是等价的角. 但

为什么要止步于旋转一周呢？9π/2 弧度又如何？这和旋转 2π 两次

(这样我们得到 4π), 然后再旋转 π/2 是一样的. 因此, 在得到最终的

π/2 之前, 我们做了两周徒劳的旋转. 旋转周数无关紧要, 我们再次得

到 9π/2 和 π/2 等价. 这个过程可以被无限地扩展下去, 以得到等价于

π/2 的角的一个家族：

当然, 这其中的每一个角都比第一个角多一个整周旋转, 即 2π. 但这仍

然还没算完. 如果你做了所有这些逆时针旋转, 并感到头晕目眩, 或许

你也会要求做一个或两个顺时针旋转来缓和一下. 这就相当于一个负

角. 特别地, 如果你面向东, 我让你逆时针旋转 -270°, 对我这个怪异

要求唯一合理的解释就是顺时针旋转 270°(或 3π/2). 显然, 你最终仍

然会面向正北, 因此, -270° 和 90° 一定是等价的. 确实, 我们将