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CAPÍTULO 4
Errores de truncamiento
y la serie de Taylor
Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en
lugar de un procedimiento matemático exacto. Por ejemplo, en el capítulo 1 aproximamos
la derivada de la velocidad de caída de un paracaidista mediante una ecuación en dife-
rencia finita dividida de la forma [ecuación (1.11)]
dv ∆ v v( t ) – v( t )
≅ = i+1 i (4.1)
dt t ∆ t t –
i+1 i
Se presentó un error de truncamiento en la solución numérica, ya que la ecuación en
diferencia sólo aproxima el valor verdadero de la derivada (véase figura 1.4). Para obte-
ner un conocimiento sobre las características de estos errores, debe considerar una
formulación matemática que se utiliza ampliamente en los métodos numéricos para
expresar funciones de manera aproximada: la serie de Taylor.
4.1 LA SERIE DE TAYLOR
El teorema de Taylor (véase cuadro 4.1) y su fórmula, la serie de Taylor, es de gran valor
en el estudio de los métodos numéricos. En esencia, la serie de Taylor proporciona un
medio para predecir el valor de una función en un punto en términos del valor de la
función y sus derivadas en otro punto. En particular, el teorema establece que cual-
quier función suave puede aproximarse por un polinomio.
Una buena manera de comprender la serie de Taylor consiste en construirla término
por término. Por ejemplo, el primer término de la serie es:
f(x ) f(x ) (4.2)
i
i+1
Esta relación, llamada la aproximación de orden cero, indica que el valor de f en el
nuevo punto es el mismo que su valor en el punto anterior. Tal resultado tiene un sentido
intuitivo, ya que si x y x i+1 están muy próximas entre sí, entonces es muy probable que
i
el nuevo valor sea similar al anterior.
La ecuación (4.2) ofrece una estimación perfecta si la función que se va a aproximar
es, de hecho, una constante. Sin embargo, si la función cambia en el intervalo, entonces
se requieren los términos adicionales de la serie de Taylor, para obtener una mejor
aproximación. Por ejemplo, la aproximación de primer orden se obtiene sumando otro
término para obtener:
f(x ) f(x ) + f′(x )(x – x ) (4.3)
i
i
i+1
i+1
i
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