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4.1 LA SERIE DE TAYLOR 83

EJEMPLO 4.2 Uso de la expansión de la serie de Taylor para aproximar una función
con un número infi nito de derivadas

Planteamiento del problema. Utilice expansiones de la serie de Taylor con n desde
0 hasta 6 para aproximar f(x) = cos x en x = p/3 con base en el valor de f(x) y sus
i+1
derivadas en x = p/4. Observe que esto significa que h = p/3 – p/4 = p/12.
i
Solución. Como en el ejemplo 4.1, el conocimiento de la función original implica que
se puede determinar el valor exacto de f(p/3) = 0.5.
La aproximación de orden cero es [ecuación (4.3)]
⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞
f ≅ cos = 0 707106781.
⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠
4
que representa un error relativo porcentual de
ε = 0 5 0 707106781.– . 100% = 41 4– . %
t
05.
Para la aproximación de primer orden, se agrega el término de la primera derivada
donde f′(x) = –sen x:
⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞⎛ π ⎞
f ≅ cos – sen = 0 521986659.
⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ 12 ⎠
4
4
que tiene e = –4.40 por ciento.
t
Para la aproximación de segundo orden, se agrega el término de la segunda deriva-
da donde f′′(x) = –cos x:
⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞⎛ π ⎞ cos π ( / 4) ⎛ π ⎞ 2
f ≅ cos – sen – = .
0 497754491
⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 4 ⎠⎝ 12 ⎠ 2 ⎝ 12 ⎠
4
con e = 0.449 por ciento. Entonces, al agregar más términos a la serie se obtiene una
t
mejor aproximación.
Este proceso continúa y sus resultados se enlistan, como en la tabla 4.1. Observe que
las derivadas nunca se aproximan a cero, como es el caso con el polinomio del ejemplo
4.1. Por lo tanto, cada término que se le agrega a la serie genera una mejor aproximación.

TABLA 4.1 Aproximaciones mediante la serie de Taylor de f (x) = cos x en x i+1 =
p/3 usando como punto base p/4. Los valores se presentan para varios
órdenes (n) de aproximación.

Orden n f (n) (x) f(π/3) ε t
0 cos x 0.707106781 –41.4
1 –sen x 0.521986659 –4.4
2 –cos x 0.497754491 0.449
3 sen x 0.499869147 2.62 × 10 –2
4 cos x 0.500007551 –1.51 × 10 –3
5 –sen x 0.500000304 –6.08 × 10 –5
6 –cos x 0.499999988 2.40 × 10 –6

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