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76 APROXIMACIONES Y ERRORES DE REDONDEO

La figura 3.12b muestra los resultados de la ejecución del programa para x = 10.
Observe que este caso es completamente satisfactorio. El resultado final se alcanza en
31 términos con la serie idéntica para el valor de la función en la biblioteca con siete
cifras significativas.
En la figura 3.12c se muestran los resultados para x = –10. Sin embargo, en este
caso, los resultados de la serie calculada no coinciden ni en el signo con respecto al re-
sultado verdadero. De hecho, los resultados negativos abren una gama de preguntas
x
serias porque e nunca puede ser menor que cero. El problema es causado por el error
de redondeo. Observe que muchos de los términos que conforman la suma son mucho
más grandes que el resultado final de la suma. Además, a diferencia del caso anterior,
los términos individuales varían de signo. Así, en efecto, estamos sumando y restando
números grandes (cada uno con algún error pequeño) y dando gran significancia a las
diferencias; esto es, cancelación por resta. Entonces, puede verse que el culpable en este
ejemplo de dispersión es, en efecto, la cancelación por resta. En tales casos es apropiado
buscar alguna otra estrategia de cálculo. Por ejemplo, uno podría tratar de calcular y =
–1 10
–10
e como y = (e ) . En lugar de una reformulación, ya que el único recurso general es
la precisión extendida.

Productos internos. De las secciones anteriores debe quedar claro que, algunas series
infinitas son particularmente propensas a errores por redondeo. Por fortuna, el cálculo
de series no es una de las operaciones más comunes en métodos numéricos. Una mani-
pulación más frecuente es el cálculo de productos internos, esto es,
n
∑ xy = x y + x y + + x y
2 2
n n
ii
11
i=1
Esta operación es muy común, en particular en la solución de ecuaciones simultáneas
lineales algebraicas. Tales sumatorias son propensas a errores por redondeo. En conse-
cuencia, a menudo es deseable calcular tales sumas con precisión extendida.
Aunque en las secciones siguientes se ofrecerán reglas prácticas para reducir el error
de redondeo, no son un medio directo mejor que el método de prueba y error para de-
terminar realmente el efecto de tales errores en los cálculos. En el próximo capítulo se
presentará la serie de Taylor, la cual proporcionará un enfoque matemático para estimar
esos efectos.

PROBLEMAS

3.1 Convierta los números siguientes en base 2 a números en 3.4 La serie infinita
base 10: a) 1011101. b) 101.101, y c) 0.01101.
n 1
3.2 Realice su propio programa con base en la figura 3.9 y úselo
fn() = ∑ 4
para determinar el épsilon de máquina de su computadora. i=1 i
3.3 En forma similar a la de la figura 3.9, escriba un programa
converge a un valor de f(n) = p /90 conforme n se tiende a infi-
4
corto para determinar el número más pequeño, x mín , que utiliza
nito. Escriba un programa de precisión sencilla para calcular f (n)
la computadora que empleará con este libro. Observe que su
para n = 10 000 por medio de calcular la suma desde i = 1 hasta
computadora será incapaz de diferenciar entre cero y una canti-
10 000. Después repita el cálculo pero en sentido inverso, es
dad más pequeña que dicho número.
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