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3.4 ERRORES DE REDONDEO 73

Una manera de reducir este tipo de errores consiste en sumar la serie en sentido
inverso: esto es, en orden ascendente en lugar de descendente. De esta manera, cada
nuevo término será comparable en magnitud con el de la suma acumulada (véase el
problema 3.4).

Cancelación por resta. Se refiere al redondeo inducido cuando se restan dos núme-
ros de punto flotante casi iguales.
Un caso común donde esto ocurre es en la determinación de las raíces de una ecua-
ción cuadrática o parábola utilizando la fórmula cuadrática,

x 1 = – b ± b − 4 ac (3.12)
2
x 2 2 a

2
En los casos donde b >> 4ac, la diferencia en el numerador puede ser muy pequeña. En
tales casos, la precisión doble llega a reducir el problema. Además, una formulación
alternativa puede usarse para minimizar la cancelación por resta.

x – c 2
1 = (3.13)
x b ± b −
2
2 4 ac
Una ilustración del problema y del uso de esta fórmula alternativa se ofrecen en el si-
guiente ejemplo.

EJEMPLO 3.7 Cancelación por resta

Planteamiento del problema. Calcule el valor de las raíces de una ecuación cuadráti-
ca con a = 1, b = 3 000.001 y c = 3. Compare el valor calculado con las raíces verdaderas
x = –0.001 y x = –3 000.
2
1
Solución. En la figura 3.11 se muestra un programa en Fortran 90 que calcula las
raíces x y x usando la fórmula cuadrática [(ecuación (3.12)]. Observe que se dan las
2
1
versiones tanto de la precisión simple como la precisión doble. Mientras que los resul-
tados para x son adecuados, el error relativo porcentual para x es pobre para la precisión
2
1
simple, e = 2.4%. Este valor quizá resulte para muchos problemas de aplicaciones en
t
ingeniería. ¡Este resultado es en particular sorpresivo porque se emplea una fórmula
analítica para obtener la solución!
La pérdida de significancia ocurre en la línea del programa donde dos números
grandes se restan. No ocurren problemas semejantes cuando los mismos números se
suman.
Considerando lo anterior podemos obtener la conclusión general de que la fórmu-
la cuadrática será susceptible de cancelación por resta cada vez que b >> 4ac. Una
2
manera de evitar este problema consiste en usar precisión doble. Otra es reacomodar la
fórmula cuadrática en la forma de la ecuación (3.13). Ya que en la salida del programa,
ambas opciones dan un error mucho menor porque se minimiza o evita la cancelación
por resta.

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