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314 MATRICES ESPECIALES Y EL MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

y
∂u a ∂v
=− 12 = 0
∂x a ∂x
2 11 2
que se sustituyen en la ecuación (11.7) para dar

a
21 < 1 (11.9a)
a
22
y

a 12 < 1 (11.9b)
a 11
En otras palabras, el valor absoluto de las pendientes en la ecuación (11.8) debe ser
menor que la unidad para asegurar la convergencia, lo cual se muestra gráficamente en
la figura 11.5. La ecuación (11.9) también se reformula así:
⎪a ⎪ > ⎪a ⎪
21
22
y
⎪a ⎪ > ⎪a ⎪
12
11
Esto es, el elemento diagonal debe ser mayor que el elemento fuera de la diagonal para
cada renglón.
La generalización de lo anterior para n ecuaciones es directa y se expresa como

ii ∑
a > n a i j, (11.10)
j =1
ji ≠

FIGURA 11.5
Representación a) de la x x
convergencia y b) de la 2 2 v
divergencia del método
de Gauss-Seidel. Observe
v
que las mismas funciones
son dibujadas en ambos
casos (u: 11x 1 + 13x 2 =
286; v: 11x 1 – 9x 2 = 99).
Así, el orden en el cual se
implementan las ecuaciones x x
(se representa por la u 1 1
dirección de la primera
u
fl echa desde el origen)
determina si el cálculo a) b)
converge.

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