Page 337 - Chapra y Canale. Metodos Numericos para Ingenieros 5edición_Neat

11.2 GAUSS-SEIDEL 313

Primera iteración

x 1 = (c 1 – a 12 x 2 – a 13 x 3 ) /a 11 x 1 = (c 1 – a 12 x 2 – a 13 x 3 ) /a 11
x 2 = (c 2 – a 21 x 1 – a 23 x 3 ) /a 22 x 2 = (c 2 – a 21 x 1 – a 23 x 3 ) /a 22

x 3 = (c 3 – a 31 x 1 – a 32 x 2 ) /a 33 x 3 = (c 3 – a 31 x 1 – a 32 x 2 ) /a 33
Segunda iteración

x 1 = (cj – a 12 x 2 – a 13 x 3 ) /a 11 x 1 = (c 1 – a 12 x 2 – a 13 x 3 ) /a 11
x 2 = (c 2 – a 21 x 1 – a 23 x 3 ) /a 22 x 2 = (c 2 – a 21 x 1 – a 23 x 3 ) /a 22

x 3 = (c 3 – a 31 x 1 – a 32 x 2 ) /a 33 x 3 = (c 3 – a 31 x 1 – a 32 x 2 ) /a 33
b)
a)
FIGURA 11.4
Ilustración gráfi ca de la diferencia entre los métodos de a) Gauss-Seidel y b) iterativo de
Jacobi, para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales.

El criterio de convergencia se puede desarrollar al recordar de la sección 6.5.1 que
las condiciones suficientes para la convergencia de dos ecuaciones no lineales, u(x, y) y
v(x, y), son

∂u ∂v
+ < 1 (11.7a)
∂x ∂x
y

∂u ∂v
+ < 1 (11.7b)
∂y ∂y
Este criterio se aplica también a las ecuaciones lineales que se resuelven con el mé-
todo de Gauss-Seidel. Por ejemplo, en el caso de dos ecuaciones simultáneas, el algorit-
mo de Gauss-Seidel [ecuación (11.5)] se expresa como

ux x(, ) = c 1 − a 12 x (11.8a)
1 2 2
a 11 a 11
y

v(,xx 2 ) = c 2 − a 21 x 1 (11.8b)
1
a 22 a 22
Las derivadas parciales de estas ecuaciones se evalúan con respecto a cada una de las
incógnitas así:

∂u ∂v a
= 0 =− 21
∂x ∂x a
1 1 22

6/12/06 13:54:12
Chapra-11.indd 313 6/12/06 13:54:12
Chapra-11.indd 313