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720 MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA

y
Predicho
error
Verdadero

h

x i x i +1 x

FIGURA 25.2
Método de Euler.

se toma la pendiente al inicio del intervalo como una aproximación de la pendiente pro-
medio sobre todo el intervalo. Tal procedimiento, llamado método de Euler, se analiza
en la primera parte de este capítulo. Después se revisan otros métodos de un paso que
emplean otras formas de estimar la pendiente que dan como resultado predicciones más
exactas. Todas estas técnicas en general se conocen como métodos de Runge-Kutta.

25.1 MÉTODO DE EULER

La primera derivada ofrece una estimación directa de la pendiente en x (figura 25.2):
i
f = ƒ(x , y )
i
i
donde ƒ(x , y ) es la ecuación diferencial evaluada en x y y . La estimación se sustituye
i
i
i
i
en la ecuación (25.1):
y = y + ƒ(x , y )h (25.2)
i
i
i+1
i
Esta fórmula se conoce como método de Euler (o de Euler-Cauchy o de punto
pendiente). Se predice un nuevo valor de y usando la pendiente (igual a la primera de-
rivada en el valor original de x) para extrapolar linealmente sobre el tamaño de paso h
(figura 25.2).
EJEMPLO 25.1 Método de Euler

Planteamiento del problema. Con el método de Euler integre numéricamente la
ecuación (PT7.13):
dy 3 2
=−2 x +12 x − 20 x + 8 5 .
dx

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