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724 MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA

donde E = error de truncamiento local verdadero. Para h suficientemente pequeña, los
t
errores en los términos de la ecuación (25.7) normalmente disminuyen, en tanto aumen-
ta el orden (recuerde el ejemplo 4.2 y el análisis que lo acompaña) y el resultado se re-
presenta como:
′(,
E = fx y ) h 2 (25.8)
i
i
a
! 2
o
2
E = O(h ) (25.9)
a
donde E = error de truncamiento local aproximado.
a
EJEMPLO 25.2 Estimación de la serie de Taylor para el error del método de Euler

Planteamiento del problema. Con la ecuación (25.7) estime el error en el primer paso
del ejemplo 25.1. Úsela también para determinar el error debido a cada uno de los tér-
minos de orden superior en la expansión de la serie de Taylor.

Solución. Como tenemos un polinomio, se aplica la serie de Taylor para obtener esti-
maciones exactas del error en el método de Euler. La ecuación (25.7) se escribe como:
′
x y )
x y
E = fx y(, ) h + f ′′(, ) h + f () 3 (, i h 4 (E25.2.1)
i
i
2
i
i
3
i
t
! 2 ! 3 ! 4
donde f′(x , y ) = la primera derivada de la ecuación diferencial (que es la segunda deri-
i
i
vada de la solución). En el presente caso,
f′(x , y ) = –6x + 24x – 20 (E25.2.2)
2
i
i
y f ″(x , y ) es la segunda derivada de la EDO
i
i
f″(x i , y i ) = –12x + 24 (E25.2.3)
y ƒ (x , y ) es la tercera derivada de la EDO
(3)
i
i
ƒ (x , y ) = –12 (E25.2.4)
(3)
i
i
Podemos omitir términos adicionales (es decir, la cuarta derivada y las superiores) de
la ecuación (E25.2.1), ya que en este caso específico son iguales a cero. Se debe observar
que para otras funciones (por ejemplo, funciones trascendentes como senoides o expo-
nenciales) esto no necesariamente es cierto, y los términos de orden superior llegan a
tener valores diferentes de cero. Sin embargo, en el presente caso, las ecuaciones (E25.2.1)
a la (E25.2.4) definen por completo el error de truncamiento en una sola aplicación del
método de Euler.
Por ejemplo, el error debido al truncamiento del término de segundo orden se calcu-
la como sigue:
(.)0 +
− 60 2 24 ( .)0 0 − 20
E = (. )05 2 =− . 25 (E25.2.5)
t,2
2
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