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ECUACIONES DIFERENCIALES
PARCIALES

PT8.1 MOTIVACIÓN

Dada una función u que depende tanto de x como de y, la derivada parcial de u con
respecto a x en un punto arbitrario (x, y) se define como
∂u ux( + x y∆ , ) − ux y( , )
= lím (PT8.1)
∂x ∆ x →0 ∆ x
De manera similar, la derivada parcial con respecto a y se define como

∂u ux y(, + y∆ ) − ux y(, )
= lím (PT8.2)
∂y ∆ y →0 ∆ y

Una ecuación que tiene derivadas parciales de una función desconocida, de dos o más va-
riables independientes, se denomina ecuación diferencial parcial, o EDP. Por ejemplo,
2
2
∂ u ∂ u
+ 2xy += 1u (PT8.3)
∂x 2 ∂y 2
3
2
∂ u ∂ u
∂∂ + x ∂y 2 + 8u = 5y (PT8.4)
2
xy
⎛ ∂ u ⎞ 3 ∂ u
3
2
⎜ ⎟ + 6 = x (PT8.5)
⎝ ∂x 2 ⎠ ∂∂ xy 2
2
∂ u ∂u
+ xu = x (PT8.6)
∂x 2 ∂y
El orden de una EDP es el de la derivada parcial de mayor orden que aparece en la
ecuación. Por ejemplo, las ecuaciones (PT8.3) y (PT8.4) son de segundo y tercer orden,
respectivamente.
Se dice que una ecuación diferencial parcial es lineal, si es lineal en la función
desconocida y en todas sus derivadas, con coeficientes que dependen sólo de las variables
independientes. Por ejemplo, las ecuaciones (PT8.3) y (PT8.4) son lineales; mientras
que las ecuaciones (PT8.5) y (PT8.6) no lo son.
Debido a su amplia aplicación en ingeniería, nuestro estudio de las EDP se concen-
trará en las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. Para dos variables in-
dependientes, tales ecuaciones se pueden expresar de la forma general siguiente:
∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u
A + B + C + D = 0 (PT8.7)
x ∂ 2 ∂∂ y ∂ 2
xy

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