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914 MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO

que se pueden reexpresar como sigue:
dT
∫ x dx 2 ˜ 2 N x dx =−() ∫ x 1 x 2 f x N x dx i 12= , (31.17)
x 2
()
()
i
i
1
Ahora, se aplicarán varias manipulaciones matemáticas para simplificar y evaluar
la ecuación (31.17). Una de las más importantes es la simplificación del lado izquierdo
usando la integración por partes. Del cálculo, recuerde que esta operación se expresa
como
∫ a b ud = uv a ∫ a b v du
−
b
v
Cuadro 31.1 Esquemas de residuos alternativos

Se puede elegir entre varias funciones de ponderación para la En el caso de mínimos cuadrados, los coeficientes se ajustan
ecuación (31.16). Cada una representa un procedimiento alter- hasta minimizar la integral del cuadrado del residuo. De manera
nativo para el MRP. que las funciones de ponderación son
En el método de la colocación, elegimos tantas posiciones como ∂
coeficientes desconocidos existan. Después, se ajustan los coefi- W = R
i a ∂
cientes hasta que los residuos desaparezcan en cada una de estas i
posiciones. En consecuencia, la función de aproximación dará
resultados perfectos en las posiciones elegidas, pero en las posi- al sustituir las W en la ecuación (31.16), se obtiene
i
ciones restantes tendremos un residuo diferente de cero. Así, este ∂ R
método es parecido a los de interpolación del capítulo 18. Observe ∫ R a ∂ dD = 0 i = 1 2,, …, n
que la colocación corresponde a usar la función de ponderación D i
W = d (x – x ) para i = 1, 2,..., n
i o
donde n = el número de coeficientes desconocidos y d (x – x ) =
i ∂
la función delta de Dirac, que es igual a cero en todas partes ∫ RdD = 0 i = 1 2 … n ,
2
,,
excepto en x = x , donde es igual a 1. ∂a i D
i
En el método del subdominio, el intervalo se divide en tantos
segmentos, o “subdominios”, como coeficientes desconocidos La comparación de esta formulación con la del capítulo 17
existan. Después, se ajustan los coeficientes hasta que el valor muestra que ésta es la forma continua de la regresión.
promedio del residuo sea cero en cada subdominio. Así, en cada El método de Galerkin emplea las funciones de interpolación
subdominio, la función de ponderación será igual a 1, y la ecua- N como funciones de ponderación. Recuerde que estas funciones
i
ción (31.16) se convierte en siempre suman 1 en cualquier posición en un elemento. En mu-
∫ x i Rdx = 0 para i 1= ,,2 … n , chos problemas, el método de Galerkin da los mismos resultados
que los que se obtienen con los métodos variacionales. En con-
x i–1
secuencia, ésta es la versión del MRP que se emplea con más
donde x y x son las fronteras del subdominio. frecuencia en el análisis del elemento finito.
i–1 i
Si u y v se eligen adecuadamente, la nueva integral en el lado derecho será más fácil de
evaluar que la integral original del lado izquierdo. Esto se puede hacer para el término
2
2
del lado izquierdo de la ecuación (31.17), escogiendo N (x) como u, y (d T/dx ) dx como
i
dv, se obtiene
˜
2 ˜
∫ x 2 Nx() dT dx = N x () dT ˜ x 2 − ∫ x 2 dT dN i dx i 12= , (31.18)
x 1 i dx 2 i dx x dx dx
1
x 1

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