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31.2 APLICACIÓN DEL ELEMENTO FINITO EN UNA DIMENSIÓN 915

Así, hemos dado el importante paso de bajar el orden en la formulación: de una segunda
a una primera derivada.
A continuación, se evalúa cada uno de los términos que hemos creado en la ecuación
(31.18). Para i = 1, el primer término del lado derecho de la ecuación (31.18) se evalúa
como sigue

˜
˜
dT ˜ x 2 dT x () dT x ()
Nx() = Nx() 2 − Nx () 1
1
1
1
2
1
dx dx dx
x 1
Sin embargo, de la figura 31.3 recuerde que N (x ) = 0 y N (x ) = 1 y, por lo tanto,
1 2 1 1
˜
dT ˜ x 2 dT x ()
Nx() =− 1 (31.19)
1
dx dx
x 1
De manera similar, para i = 2,
˜
dT ˜ x 2 dT x ()
Nx() = 2 (31.20)
2
dx dx
x 1
Así, el primer término en el lado derecho de la ecuación (31.18) representa las condicio-
nes de frontera naturales en los extremos de los elementos.
Ahora, antes de continuar, reagrupemos sustituyendo en la ecuación original los
términos correspondientes por nuestros resultados. Empleamos las ecuaciones (31.18) a
(31.20) para hacer las sustituciones correspondientes en la ecuación (31.17); para i = 1,
˜
˜
∫ x dx dx 1 dx =− dT x () + ∫ x 1 x 2 fx N x dx (31.21)
dT dN
x 2
1
()
()
1
dx
1
y para i = 2,
˜
˜
dT dN
∫ x dx dx 2 dx = dT x () + ∫ x 1 x 2 fx N x dx (31.22)
x 2
2
()
()
2
dx
1
Observe que la integración por partes nos llevó a dos importantes resultados. Pri-
mero, ha incorporado las condiciones de frontera directamente dentro de las ecuaciones
del elemento. Segundo, ha bajado la evaluación de orden superior, de una segunda a una
primera derivada. Este último resultado tiene como consecuencia significativa que las
funciones de aproximación necesitan preservar continuidad de valor, pero no pendiente
en los nodos.
Observe también que ahora podemos comenzar a darles significado físico a cada
uno de los términos que obtuvimos. En el lado derecho de cada ecuación, el primer
término representa una de las condiciones de frontera del elemento; y el segundo es el
efecto de la función de fuerza del sistema, en este caso, la fuente de calor f(x). Como
ahora será evidente, el lado izquierdo representa los mecanismos internos que rigen la
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