Page 53 - Elementary Algebra Exercise Book I

ELEMENTARY ALGEBRA EXERCISE BOOK I equAtions

√ √ √
2.10 Find real valued solutions of the equation x + y − 1+ z − 2 =(x + y + z)/2.

Solution 1:
√ √ √ √ √ √ √ √ √ √
√
√
√
√
y − 1 + − 1 +
√ √
√ √ x + √ y √ √ z − 2= (x + y + z)/2 ⇔ x − 2 x +1+(y − 1) − 2 y − 1 +
√ √
x + √ √
x +
z − 2= (x + y + z)/2 ⇔ x − 2 x +1+(y − 1) − 2 y − 1 + (z − (z −
x
y − 1 + − 1 +
y
x √ + √ + y − 1 + z − 2= (x + y √ + z)/2 ⇔ x − 2 x +1+(y − 1) − 2 y − 1 + (z −
z − 2=
√ √ 1 +
√ √
√
z − 2= √ (x + y + z)/2 ⇔ x − 2 x +1+(y − 1) − 2 y −
√ (x + y + z)/2 ⇔ x − 2 x +1+(y − 1) − 2 y − 1 + (z − (z −
2
2
√
√
2
√
√
√
2
2
2
x − 1= − 1=

2) − 2 z − 2+1 = 0 ⇔ ( x
x
√ √
√ √
2
2) − 2 z − 2+1 = 0 ⇔ ( x − 1) +( y − 1 − 1) +( z − 2 − 1) =0 ⇒ √ √ x − 1=
√ √
2
√ √
2
2 − 1) +( y − 1 − 1) +( z − 2 − 1) =0 ⇒
2
2
2
2
2
x
√ = 0 ⇔ ( x − 1) +( y − 1 − 1) +( z − 2 − 1) =0 ⇒
2) 2) − 2 z − 2+1 = 0 ⇔ ( x − 1) +( y − 1 − 1) +( z − 2 − 1) =0 x − 1= − 1=
2) − 2 z − 2+1 √
√
√ − 2 z − 2+1 = 0 ⇔ ( x − 1) +( y − 1 − 1) +( z − 2 − 1) =0 ⇒ ⇒
√
√
√ √
y − 1 − 1= 0, z − 2 − 1 =0 ⇒ x =1,y =2,z =3=3
0,
y − 1 − 1= 0, z − 2 − 1 =0 ⇒ x =1,y =2,z
0, √ √ y − 1 − 1= 0, z − 2 − 1 =0 ⇒ x =1,y =2,z =3
0,
y − 1 − 1= 0, z − 2 − 1 =0 ⇒ x =1,y =2,z =3=3.
0, 0, y − 1 − 1= 0, z − 2 − 1 =0 ⇒ x =1,y =2,z
√ √ √
Solution 2: Let x = t (t ≥ 0 ), y − 1= u (u ≥ 0), z − 2= v (v ≥ 0 ). Then
2
2
x = t ,y = u +1,z = u +2 , substitute it into the original equation to obtain
2
2 2 2 2 2 2
2
2
2
2
2
2
t + u + v =(t + u +1+ v + 2)/2 ⇔ t + u + v − 2t − 2u − 2v +3 = 0 ⇔
t + u + v =(t + u +1+ v + 2)/2 ⇔ t + u + v − 2t − 2u − 2v +3 = 0 ⇔
2
2
2
(t − 1) +(u − 1) +(v − 1) =0 ⇒ t = u = v =1 ⇒ x =1,y =2,z =3
(t − 1) +(u − 1) +(v − 1) =0 ⇒ t = u = v =1 ⇒ x =1,y =2,z =3 .
2
2
2
x +1 x +4 x +1 x − 2 2
2.11 Solve the equation − + − = .
x +4 x +1 x − 2 x +1 3
Solution: The equation is equivalent to
3 3 3 3 2 3 2 3
2
2
1 − 3 − 1 − 3 +1 − 3 − 1+ 3 = ⇔ 3 = + 3 ⇔
3
x +4
x +1
x +1
x − 2
3
x +4
x − 2
1 − − 1 − +1 − − 1+ = ⇔ = + ⇔
x +4
2
x +2x − 35 = 0 x +1 x − 2 x +1 3 x − 2 3 x +4
x +2x − 35 = 0 and x �=2,x �= −4. We can factor it to be (x − 5)(x + 7) = 0, which
2
leads to solutions x =5,x = −7.
2
2.12 If the equation x − 2x − 4y =5 has real valued solutions, find the maximum value
of x − 2y .
Solution: Let x − 2y = t , then we have a system of equations: x − 2x − 4y =5 (i) and
2
2
x − 2y = t (ii). (i)-(ii)×2: x − 4x =5 − 2t ⇔ x − 4x +2t − 5= 0 . This quadratic equation
2
has real valued solutions, thus Δ=16 − 4(2t − 5) = 4(9 − 2t) ≥ 0 ⇔ t ≤ 9/2, that is, the
maximum value of x − 2y is 9/2.
5
3
2.13 Solve the equation lg x + lg x + lg x + ··· + lg x 2n−1 = n (n ∈ N ).
5
3
Solution: lg x+lg x +lg x +···+lg x 2n−1 = n ⇔ lg x 1+3+5+···+(2n−1) = n ⇔ lg x (1+2n−1)n/2 =
2n−1
5
1+3+5+···+(2n−1)
(1+2n−1)n/2
3
lg x+lg x +lg x +···+lg x
=
= n ⇔ lg x
= n ⇔ lg x
2
n ⇔ n lg x = n ⇔ lg x =1/n
2
n
n ⇔ n lg x = n ⇔ lg x =1/n (since n ∈ N ), whose solution is x = √ 10.
2
2.14 Solve the equation 5 x+1 =3 x −1 .
2
2
Solution: 5 x+1 =3 x −1 ⇔ (x + 1) lg 5 = (x − 1) lg 3 ⇔ (x + 1)[lg 5 − (x − 1) lg 3] = 0 , thus
x +1 = 0 or lg 5 − (x − 1) lg 3 = 0, which imply two solutions x = −1, x = log 15.
3
Download free eBooks at bookboon.com
53