Page 35 - mathsvol1ch1to3ans

35
√
2
2
2
3. If a cos θ − b sin θ = c, show that a sin θ + b cos θ = ± a + b − c .
Solution:
p
We know that a sin θ + b cos θ = ± (a sin θ + b cos θ) 2
√
2
2
= ± a sin θ + b cos θ + 2ab sin θ cos θ
2
2
2
2
2
2
2
Now (a cos θ − b sin θ) = a cos θ + b sin θ − 2ab sin θ cos θ
2
2
2
2
2
That is, c = a cos θ + b sin θ − 2ab sin θ cos θ
2
2
2
2
Then 2ab sin θ cos θ = a cos θ + b sin θ − c 2
p
2
2
Not For Sale - Veeraragavan C S veeraa1729@gmail.com
2
2
2
2
2
2
Hence a sin θ + b cos θ = ± a sin θ + b cos θ + a cos θ + b sin θ − c 2
√
2
2
= ± a + b − c 2
2
4 − 3 (m − 1) 2
6
6
2
4. If sin θ + cos θ = m, show that cos θ + sin θ = , where m ≤ 2.
4
Solution:
2 3
6
(sin θ + cos θ) = [(sin θ + cos θ) ]
2
(sin θ + cos θ) = 1 − 2 sin θ cos θ
2
−2 sin θ cos θ = [m − 1]
2
6
6
2
3
cos θ + sin θ = (cos θ) + (sin θ) 3
4
2
2
2
4
2
= (cos θ + sin θ)(cos θ − cos θ sin θ + sin θ)
2
2
2
2
2
= [(cos θ + sin θ) − 3 cos θ sin θ]
2
= [1 − 3(cos θ sin θ) ]
" 2 #
2
3(m − 1)
= 1 −
4
4
4
cos α sin α
5. If + = 1, prove that
2
2
cos β sin β
4
4
cos β sin β
4
4
2
2
(i) sin α + sin β = 2 sin α sin β (ii) + = 1.
2
2
cos α sin α
Solution:
4
4
cos α sin α
1 = +
2
2
cos β sin β
2
4
2
2
4
2
cos β sin β = cos α sin β + sin α cos β
2
2
4
2
2
2
2
(1 − sin β) sin β = (1 − sin α) sin β + sin α(1 − sin β)
2
2
2
2
4
4
2
(1 − sin β) sin β = (1 + sin α − 2 sin α) sin β + sin α(1 − sin β)
4
2
2
2
4
2
2
4
2
4
sin β − sin β = sin β + sin α sin β − 2 sin α sin β + sin α − sin α sin β
4
2
2
4
2 sin α sin β = sin α + sin β
4
4
cos β sin β
(ii) + = 1.
2
2
cos α sin α
4
4
4
2
4
2
cos β sin β cos β sin α + sin β cos α
+ =
2
2
2
cos α sin α cos α sin α
2