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CAPITULO II: ESFUERZOS SIMPLES EM ELEMENTOS SENCILLOS DE MÁQUINAS [34]
2.6.-TEOREMA DE CASTIGLIANO
El teorema de Catigliano, establece que cuando actúan fuerzas sobre sistemas
elásticos, el desplazamiento correspondiente a cualquier fuerza, puede
encontrarse obteniendo la derivada parcial de la energía de deformación
respecto a esta fuerza. Los términos “Fuerza” y “Desplazamiento” han de
interpretarse con amplitud, ya que se aplican igualmente a momentos y a los
desplazamientos angulares.
El teorema de Castigliano es una herramienta grandiosa para la determinación
de deformaciones de estructuras complejas.
మ
∗ Se ha visto que la energía de deformación es ܷ ൌ ಲ
ଶா
Si sustituimos en esta ecuación ߪ ൌ ி la ecuación resulta
ܷ ൌ ிమ
ଶா (Ec. 2.21)
Derivando esta expresión respecto a F
ܷ݀ ݈ܨ
݀ ܨൌ ܧܣൌ ߜ
Como se puede ver esta derivada es idéntica a la deformación.
∗ También se sabe que la energía de deformación de la torsión es:
ܷ ൌ ்మ
(Ec. 2.22)
ଶீ
La derivada de esta ecuación respecto a T es:
ܷ݀ ݈ܶ
݀ܶ ൌ ܬܩൌ ߠ
Que es la ecuación del desplazamiento angular bajo una carga de torsión
∗ La energía de formación para una viga en voladizo con una carga
concentrada en su extremo, es
ܷ ൌ ிమయ (Ec. 2.23)
ாூ
Y la derivada respecto a F es ௗ ൌ ிయ ൌ ܻá௫ que es la deformación de la viga.
ௗி ଷாூ
El teorema de Castigliano puede establecerse matemáticamente ߜ ൌ డ ,
డி
δn = desplazamiento del punto de aplicación de Fn en la dirección Fn.
Puede aplicarse una fuerza imaginaria Q, si no existe realmente ninguna fuerza
en este punto. Después que se haya obtenido la expresión de δn, la fuerza Q se
hace igual a cero; la expresión resultante es el desplazamiento en el punto de
aplicación de la fuerza imaginaria Q y en la dirección en la que se imaginó que
actuaba Q.
EjemploN°2.8 :
Calcular la máxima deformación de una viga simplemente apoyada con una
carga uniformemente distribuida
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