Page 12 - Pavimenti cosmateschi _Neat

Costruzione di tassellazioni
Le tassellature sono alla base dei mosaici. Così anche i
pavimenti cosmateschi di cui ci stiamo interessando non
sono altro che tassellazioni del piano che si costruiscono
utilizzando particolari trasformazioni matematiche.
Il triangolo di Pascal

Una delle proprietà del
Ma c'è un altro aspetto matematico molto importante che triangolo è la sua simmetria.
compare nei pavimenti cosmateschi: la presenza di frattali. Infatti se prendiamo il
triangolo e lo pieghiamo in
corrispondenza dell'asse
I Frattali centrale (l'altezza del
Il termine frattale venne coniato nel 1975 da Benoît triangolo) vedremo che i
Mandelbrot per descrivere alcuni comportamenti numeri si sovrappongono
matematici che sembravano avere un comportamento esattamente tra di loro.
"caotico", e deriva dal latino fractus (rotto, spezzato), così Andiamo avanti ad individuare altre misteriose proprietà.
come il termine frazione; Consideriamo la somma dei numeri presenti su ogni riga del
Un frattale è un oggetto geometrico che si ripete nella sua triangolo.
forma allo stesso modo su scale diverse, e dunque 1=1 =20
ingrandendo una qualunque sua parte si ottiene una figura 1+1=2 =21
simile all'originale. 1+2+1=4 =22
1+3+3+1=8 =23
1+4+6+4+1= 16 =24
la curva di Koch.
La somma è uguale a due elevato al numero della riga presa in
esame.
Possiamo osservare che se il numero della riga è un numero
primo, tutti numeri appartenenti alla riga, eccetto i due
numeri 1 alle estremità, sono divisibili per quel numero.
Nella settima riga abbiamo, infatti, 1-7-21-35-35-21-7-1.
Ciò non è vero se il numero della riga è un numero composto
ad esempio non si verifica per la riga numero 6.
La prima diagonale indicata con d1 è la sequenza dei numeri
interi.
La seconda diagonale d2 è la sequenza dei numeri triangolari,
cioè la sequenza dei
numeri che si
ottengono
sommando tra loro
IL TRIANGOLO DI SIERPINSKI il primo, il primo
con il secondo, il
primo con il
secondo e con il
terzo, ecc.
La terza diagonale
d3 è la sequenza
dei numeri tedraedrici cioè la somma dei numeri triangolari e
così via
E molto altro!
Il triangolo di Sierpiński è un frattale così chiamato dal nome
di Waclaw Sierpiński che lo descrisse nel 1915. Pascal e i frattali: qualcosa in comune?
Dato un triangolo equilatero pieno, lo si divida in 4 triangoli
equilateri e si rimuova il triangolo centrale rivolto verso il Vogliamo concentrarci sulla connessione del triangolo di
basso. Rimangono 3 triangoli: ad ognuno di essi si applichi Pascal con i frattali. Facciamo una semplice operazione:
lo stesso procedimento all’infinito”. Coloriamo di bianco i numeri pari del triangolo e di rosso i
Dopo 4 iterazioni, ecco come appare il triangolo: numeri dispari. Un'operazione all'apparenza molto banale ma
il risultato non è niente male. Una semplice operazione di
divisione dà vita ad un oggetto matematico con una profonda
Una bella curiosità!