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3.4 ERRORES DE REDONDEO 71

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que podría convertirse en 0.1000 · 10 = 0.1000. Así, en este caso, se agregan tres ceros
no significativos, lo cual introduce un error sustancial de cálculo debido a que las ma-
nipulaciones siguientes actúan como si los ceros fueran significativos. Como se verá más
adelante en otra sección, la pérdida significativa durante la resta de números casi iguales
es una de las principales fuentes de errores de redondeo en los métodos numéricos.
La multiplicación y la división resultan un poco más sencillos que la suma y la
resta. Los exponentes se suman y la mantisa se multiplica. Debido a que la multiplicación
de dos mantisas de n dígitos da como resultado 2n dígitos, muchas computadoras ofrecen
resultados intermedios en un registro de doble longitud. Por ejemplo,

3
–1
0.1363 · 10 × 0.6423 · 10 = 0.08754549 · 10 2
Si, como en este caso, se introduce un cero, el resultado es normalizado,
2
0.08754549 · 10 → 0.8754549 · 10 1
y cortando resulta

0.8754 · 10 1
La división se realiza en forma similar, aunque las mantisas se dividen y los expo-
nentes se restan. Entonces el resultado es normalizado y cortado.

Cálculos grandes. Ciertos métodos requieren un número extremadamente grande
de manipulaciones aritméticas para llegar a los resultados finales. Además, dichos cálcu-
los a menudo son interdependientes; es decir, los cálculos son dependientes de
los resultados previos. En consecuencia, aunque el error de redondeo individual sea
pequeño, el efecto acumulativo durante el proceso de muchos cálculos puede ser rele-
vante.

EJEMPLO 3.6 Un número grande de cálculos interdependientes

Planteamiento del problema. Investigue el efecto del error de redondeo en un gran
número de cálculos interdependientes. Desarrolle un programa que sume un número
100 000 veces. Sume el número 1 con precisión simple, y 0.00001 con precisiones sim-
ple y doble.
Solución. En la figura 3.10 se muestra un programa en Fortran 90 que realiza la suma.
Mientras que la suma con precisión simple de 1 dará el resultado esperado, la precisión
simple en la suma de 0.00001 tiene una gran discrepancia. Este error se reduce de ma-
nera importante cuando 0.00001 se suma con precisión doble.
Los errores de cuantificación son la fuente de las discrepancias. Debido a que el
entero 1 puede ser representado en forma exacta en la computadora, puede sumarse
exactamente. En contraste, 0.00001 no puede representarse con exactitud y se cuantifi-
ca con un valor que es ligeramente diferente de su valor verdadero. Aunque esta ligera
discrepancia resultará insignificante para un cálculo pequeño, se acumula después de la
repetición de sumas. Tal problema ocurre también con la precisión doble, pero se redu-
ce en forma relevante porque el error de cuantificación es mucho más pequeño.

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