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90 ERRORES DE TRUNCAMIENTO Y LA SERIE DE TAYLOR

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TABLA 4.2 Comparación del valor exacto de la función f(x) = x con la aproximación
de la serie de Taylor de primer orden. Ambos, la función y la
aproximación, se evalúan en x + h, donde x = 1.

Aproximación
h Verdadero de primer orden R 1
1 16 5 11
0.5 5.0625 3 2.0625
0.25 2.441406 2 0.441406
0.125 1.601807 1.5 0.101807
0.0625 1.274429 1.25 0.024429
0.03125 1.130982 1.125 0.005982
0.015625 1.063980 1.0625 0.001480

De esta forma, se concluye que el error de la aproximación por serie de Taylor de
primer orden disminuye conforme m se aproxima a 1 y conforme h disminuye. Intui-
tivamente, esto significa que la serie de Taylor adquiere más exactitud cuando la función
que se está aproximando se vuelve más semejante a una línea recta sobre el intervalo de
interés. Esto se logra reduciendo el tamaño del intervalo o “enderezando” la función por
reducción de m. Es obvio que dicha opción usualmente no está disponible en el mundo
real porque las funciones para analizar son, en forma general, dictadas en el contexto
del problema físico. En consecuencia, no se tiene control sobre la falta de linealidad y
el único recurso consiste en reducir el tamaño del incremento o incluir términos adicio-
nales de la expansión de la serie de Taylor.

4.1.3 Diferenciación numérica

A la ecuación (4.14) se le conoce con un nombre especial en el análisis numérico: dife-
rencia finita dividida y generalmente se representa como
i
′ fx() = fx( + i 1 ) – fx( ) + Ox( + i 1 – x )
i
i
x – x
+ i 1 i (4.17)
o
f ∆
′ fx () = i + Oh ( )
i
h (4.18)
donde a ∆f se le conoce como la primera diferencia hacia adelante y a h se le llama el
i
tamaño del paso o incremento; esto es, la longitud del intervalo sobre el cual se realiza
la aproximación. Se le llama diferencia “hacia delante”, porque usa los datos en i e i +
1 para estimar la derivada (figura 4.6a). Al término completo ∆f/h se le conoce como
primer diferencia finita dividida.
Esta diferencia dividida hacia adelante es sólo una de tantas que pueden desarro-
llarse a partir de la serie de Taylor para la aproximación de derivadas numéricas. Por
ejemplo, las aproximaciones de la primera derivada utilizando diferencias hacia atrás
o diferencias centradas se pueden desarrollar de una manera similar a la de la ecuación

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