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4.1 LA SERIE DE TAYLOR 85

Aunque como se mencionó en la sección previa, por lo común las derivadas de orden
inferior cuentan mucho más en el residuo que los términos de las derivadas de or-
den superior; este resultado todavía es inexacto, ya que se han despreciado los términos
de segundo orden y de órdenes superiores. Esta “inexactitud” se denota mediante el
símbolo de aproximación a la igualdad () empleado en la ecuación (4.9).
Una simplificación alternativa que transforma la aproximación en una equivalencia
está basada en un esquema gráfico. Como se muestra en la figura 4.3 el teorema del
valor medio para la derivada establece que si una función f(x) y su primera derivada
a x , entonces existe al menos un punto en la función
son continuas en el intervalo de x i i+1
que tiene una pendiente, denotada por f′(x), que es paralela a la línea que une f(x ) y
i
f(x ). El parámetro x marca el valor x donde se presenta la pendiente (figura 4.3). Una
i+1
ilustración física de este teorema es la siguiente: si usted viaja entre dos puntos a una
velocidad promedio, habrá al menos un momento durante el curso del viaje en que usted
se mueve a esa velocidad promedio.
Al utilizar este teorema resulta fácil darse cuenta, como se muestra en la figura (4.3),
de que la pendiente f′(x) es igual al cociente de la elevación R entre el recorrido h, o
0
′ f () ξ = R 0
h
que se puede reordenar para obtener
R = f′(x)h (4.10)
0
Por lo tanto, se ha obtenido la versión de orden cero de la ecuación (4.8). Las versiones
de orden superior son tan sólo una extensión lógica del razonamiento usado para encon-
trar la ecuación (4.10). La versión de primer orden es
f ′′()ξ
R = h (4.11)
2
1
2!
FIGURA 4.3
Representación gráfi ca del teorema del valor medio para la derivada.

f(x)
Pendiente = f()

R R 0
Pendiente = 0
h

x i x i +1 x
h

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