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86 ERRORES DE TRUNCAMIENTO Y LA SERIE DE TAYLOR

En este caso, el valor de x será el valor de x que corresponde a la derivada de segundo
orden que hace exacta a la ecuación (4.11). Es posible obtener versiones similares
de orden superior a partir de la ecuación (4.8).

4.1.2 Uso de la serie de Taylor para estimar los errores
de truncamiento

Aunque la serie de Taylor será muy útil en la estimación de los errores de truncamiento
a lo largo de este libro, quizá no resulte claro cómo la expansión se aplica a los métodos
numéricos. De hecho, esto ya se hizo en el ejemplo de la caída del paracaidista. Recuer-
de que el objetivo de los ejemplos 1.1 y 1.2 fue predecir la velocidad como una función
del tiempo. Es decir, se deseaba determinar v(t). Como se especificó en la ecuación (4.5),
v(t) se puede expandir en una serie de Taylor del siguiente modo:

′′
v(t i+1 ) = v() t + ′ t i i+1 – ) t + v () t i (t i+1 – )t i 2 + + R n (4.12)
v ()(t
i
i
! 2
Ahora, truncando la serie después del término con la primera derivada, se obtiene:
v(t ) = v(t ) + v′(t )(t – t ) + R (4.13)
i+l
i
i+l
1
i
i
En la ecuación (4.13) se despeja obteniendo
′ v () t = v(t + i 1 ) – v( ) t i – R 1 (4.14)
i
t – t t – t
i 1
+ i 1
+ i 1
Aproximación Error de
de primer orden truncamiento
La primera parte de la ecuación (4.14) es exactamente la misma relación que se usó para
aproximar la derivada del ejemplo 1.2 [ecuación (1.11)]. Sin embargo, con el método de
la serie de Taylor se ha obtenido una estimación del error de truncamiento asociado con
esta aproximación de la derivada. Utilizando las ecuaciones (4.6) y (4.14) se tiene
R 1 = v ′() ξ t ( t – ) (4.15)
+
t i 1 t – i 2! i 1 i
+
o

R 1 = Ot ( t – ) (4.16)
t i 1+ t – i i 1+ i

Por lo tanto, la estimación de la derivada [ecuación (1.11) o la primera parte de la ecua-
ción (4.14)] tiene un error de truncamiento de orden t – t . En otras palabras, el error
i+1
i
en nuestra aproximación de la derivada debería ser proporcional al tamaño del incre-
mento. Entonces, si éste se divide a la mitad, se esperaría que el error de la derivada se
reduzca a la mitad.

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