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88 ERRORES DE TRUNCAMIENTO Y LA SERIE DE TAYLOR

Solución. La ecuación (E4.3.1) se aproxima por una expansión de la serie de Taylor
de primer orden:
f(x ) = f(x ) + mx i m–1 h (E4.3.2)
i
i+1
la cual tiene un residuo de
x
R = f ′′() h + f 3 () x () h + f 4 ( ) x () h +
3
2
4
i
i
i
1
2! 3! 4!
Primero, puede examinarse cómo se comporta la aproximación conforme m aumenta;
es decir, conforme la función se vuelve más no lineal. Para m = 1, el valor verdadero de
la función en x = 2 es 2. La serie de Taylor nos da
f(2) = 1 + 1(1) = 2
y
R = 0
1
El residuo es cero porque la segunda derivada y las derivadas de orden superior de una
función lineal son cero. Entonces, como es de esperarse, la expansión de la serie de
Taylor de primer orden es perfecta cuando la función de que se trata es lineal.
2
Para m = 2, el valor real es f(2) = 2 = 4. La aproximación de la serie de Taylor de
primer orden es

f(2) = 1 + 2(1) = 3
y
1 +++
2
R = () 2 0 0 = 1
1
2
Debido a que la función es una parábola, la aproximación mediante una línea recta da
por resultado una discrepancia. Observe que el residuo se determina en forma exacta.
3
Para m = 3, el valor real es f(2) = 2 = 8. La aproximación con la serie de Taylor es
2
f(2) = 1 + 3(1) (1) = 4
y
3
0 0
R = () 2 6 1 +++ = 4
6
1 + ()
1 2 6
Otra vez, hay una discrepancia que se puede determinar exactamente a partir de la serie
de Taylor.
4
Para m = 4, el valor real es f(2) = 2 = 16. La aproximación con la serie de Taylor
es
f(2) = 1 + 4(1) (1) = 5
3
y
R = 12 () 2 24 () 3 24 () 4 0 0+ + = 11
1 +
1 +
1 +
1 2 6 24

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