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150 MÉTODOS ABIERTOS

Cuadro 6.2 Deducción y análisis del error del método de Newton-Raphson

Además de la deducción geométrica [ecuaciones (6.5) y (6.6)], verdadero de la raíz. Sustituyendo este valor junto con f(x r ) = 0
el método de Newton-Raphson también se desarrolla a partir de en la ecuación (C6.2.1)se obtiene
la expansión de la serie de Taylor. Esta deducción alternativa es
muy útil en el sentido de que provee cierta comprensión sobre la ƒ″(x ) 2
0 = f(x i ) + ƒ′(x i )(x r – x i ) + ——– (x r – x i ) (C6.2.3)
velocidad de convergencia del método. 2!
Recuerde del capítulo 4 que la expansión de la serie de Taylor
se puede representar como La ecuación (C6.2.2) se resta de la ecuación (C6.2.3) para
obtener
f(x i + 1 ) = f(x i ) + ƒ′(x i )(x i + 1 – x i )
f ″(x ) 2
ƒ″(x ) 2 0 = ƒ′(x i )(x r – x i + 1 ) + ——–– (x r – x i ) (C6.2.4)
2!

+ ——— (x i + 1 – x i ) (C6.2.1)
2!
Ahora, observe que el error es igual a la diferencia entre x i + l y
donde x se encuentra en alguna parte del intervalo desde x i hasta el valor verdadero x r , como en
x i+l . Truncando la serie de Taylor después del término de la pri-
mera derivada, se obtiene una versión aproximada: E t, i + 1 = x r – x i + 1
y la ecuación (C6.2.4) se expresa como
f(x i+1 ) ≅ f(x i ) + ƒ′(x i )(x i+1 – x i )
f″(x )
2
En la intersección con el eje x, f(x i+1 ) debe ser igual a cero, o 0 = ƒ′(x i )E t, i + 1 + ——–– E t,i (C6.2.5)
2!
0 = f(x i ) + ƒ′(x i )(x i+1 – x i ) (C6.2.2)
Si se supone que hay convergencia, entonces tanto x i como x se
de donde se puede despejar a x i+1 , así deberán aproximar a la raíz x r y la ecuación (C6.2.5) se reordena
para obtener
f(x i )
x i + 1 = x i – ——– – ƒ″(x r )
ƒ′(x i ) 2
E t, i + 1 = ———–– E t,i (C6.2.6)
2ƒ′(x r )
que es idéntica a la ecuación (6.6). De esta forma, se ha deduci-
do la fórmula de Newton-Raphson usando una serie de Taylor. De acuerdo con la ecuación (C6.2.6), el error es proporcional al
Además de este desarrollo, la serie de Taylor sirve para esti- cuadrado del error anterior. Esto significa que el número de cifras
mar el error de la fórmula. Esto se logra observando que si se decimales correctas aproximadamente se duplica en cada itera-
utilizan todos los términos de la serie de Taylor se obtendrá un ción. A este comportamiento se le llama convergencia cuadráti-
resultado exacto. En tal situación x i+1 = x r , donde x es el valor ca. El ejemplo 6.4 ilustra esta propiedad.

EJEMPLO 6.4 Análisis de error en el método de Newton-Raphson

Planteamiento del problema. Como se dedujo del cuadro 6.2, el método de Newton-
Raphson es convergente en forma cuadrática. Es decir, el error es proporcional al cua-
drado del error anterior:

– ƒ″(x ) 2
r
E t, i + 1 ≅ ———– E t,i (E6.4.1)
2ƒ′(x )
r
Examine esta fórmula y observe si concuerda con los resultados del ejemplo 6.3.
–x
Solución. La primera derivada de f(x) = e – x es
– x
ƒ′(x) = –e – 1

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