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6.1 ITERACIÓN SIMPLE DE PUNTO FIJO 147

Cuadro 6.1 Convergencia del método de punto fijo

Al analizar la figura 6.3, se debe notar que la iteración de punto Ahora, si se hace a = x i y b = x r , el lado derecho de la ecuación
fijo converge si, en la región de interés, ⏐g′(x)⏐ < 1. En otras (C6.1.1) se expresa como
palabras, la convergencia ocurre si la magnitud de la pendiente
de g(x) es menor que la pendiente de la recta f(x) = x. Esta ob- g(x r ) – g(x i ) = (x r – x i )g′(x)
servación puede demostrarse teóricamente. Recuerde que la
ecuación iterativa es donde x se encuentra en alguna parte entre x i y x . Este resultado
r
se sustituye en la ecuación (C6.1.1) para obtener
x i + 1 = g(x i )
x r – x i+1 = (x r – x i )g′(x) (C6.1.3)
Suponga que la solución verdadera es
x r = g(x r ) Si el error verdadero en la iteración i se define como

Restando estas dos ecuaciones se obtiene
E t,i = x r – x i
x r – x i+1 = g(x r ) – g(x i ) (C6.1.1)
entonces la ecuación (C6.1.3) se convierte en
El teorema del valor medio de la derivada (recuerde la sección
4.1.1) establece que si una función g(x) y su primer derivada son E t,i+1 = g′(x)E t,i
continuas en un intervalo a ≤ x ≤ b, entonces existe al menos un
valor de x = x dentro del intervalo para el que En consecuencia, si ⏐g′(x)⏐ < 1, entonces los errores disminuyen
con cada iteración. Si ⏐g′(x)⏐ > 1, los errores crecen. Observe
g(b) – g(a)
g′(x) = ————— (C6.1.2) también que si la derivada es positiva, los errores serán positivos
b – a y, por lo tanto, la solución iterativa será monótona (figuras 6.3a
y 6.3c). Si la derivada es negativa, entonces los errores oscilarán
El lado derecho de esta ecuación es la pendiente de la recta que (figuras 6.3b y 6.3d).
une a g(a) y g(b). Así, el teorema del valor medio establece que Un corolario de este análisis establece que cuando el método
existe al menos un punto entre a y b que tiene una pendiente, converge, el error es proporcional y menor que el error en la
denotada por g′(x), que es paralela a la línea que une g(a) con iteración anterior. Por tal razón se dice que la iteración simple
g(b) (recuerde la figura 4.3). de punto fijo es linealmente convergente.

La solución en la figura 6.3a es convergente, ya que la aproximación de x se acerca más
a la raíz con cada iteración. Lo mismo ocurre en la figura 6.3b. Sin embargo, éste no
es el caso en las figuras 6.3c y 6.3d, donde las iteraciones divergen de la raíz. Observe
que la convergencia ocurre únicamente cuando el valor absoluto de la pendiente de
y = g(x) es menor al valor de la pendiente de y = x, es decir, cuando |g′(x)| < 1. En el
2
1
cuadro 6.1 se presenta un desarrollo teórico de este resultado.

6.1.2 Algoritmo para el método de punto fi jo

El algoritmo para la iteración de punto fijo es simple en extremo. Consta de un loop o
ciclo que calcula en forma iterativa nuevas aproximaciones hasta satisfacer el criterio de
terminación. En la figura 6.4 se muestra el seudocódigo para el algoritmo. Se pueden
programar de manera similar otros métodos abiertos, la modificación principal consis-
te en cambiar la fórmula iterativa que se utiliza para calcular la nueva raíz.

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