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308 MATRICES ESPECIALES Y EL MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

⎧ 40 8. ⎫
⎪ ⎪
⎪ 20 8. ⎪
⎨ ⎬
⎪ 14 221. ⎪
⎪ 210 996. ⎪
⎩
⎭
el cual, entonces, se utiliza de manera conjunta con la matriz [U], para realizar la sus-
titución hacia atrás y obtener la solución
T = 210.996/1.323 = 159.480
4
T = [14.221 – (–1)159.48]/1.395 = 124.538
3
T = [20.800 – (–1)124.538]/1.550 = 93.778
2
T = [40.800 – (–1)93.778]/2.040 = 65.970
1

11.1.2 Descomposición de Cholesky

Recuerde del cuadro PT3.1, que una matriz simétrica es aquella donde a = a para toda
ji
ij
T
i y j. En otras palabras, [A] = [A] . Tales sistemas se presentan comúnmente en problemas
de contexto matemático y de ingeniería. Estas matrices ofrecen ventajas computaciona-
les, ya que únicamente se necesita la mitad de espacio de almacenamiento y, en la ma-
yoría de los casos, sólo se requiere la mitad del tiempo de cálculo para su solución.
Uno de los métodos más populares usa la descomposición de Cholesky. Este algo-
ritmo se basa en el hecho de que una matriz simétrica se descompone así:

[A] = [L][L] T (11.2)

Es decir, los factores triangulares resultantes son la transpuesta uno de otro.
Los términos de la ecuación (11.2) se desarrollan al multiplicar e igualar entre sí
ambos lados (véase el problema 11.4 al final del capítulo). El resultado se expresa en
forma simple mediante relaciones de recurrencia. Para el renglón k-ésimo,

ki ∑
a − i−1 l l
ij kj
l = j =1 para i = 1, 2,…, k – 1 (11.3)
ki
l
ii
y

kk ∑
l = a – k −1 l kj 2 (11.4)
kk
j =1

EJEMPLO 11.2 Descomposición de Cholesky

Planteamiento del problema. Aplique la descomposición de Cholesky a la matriz
simétrica

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