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324 MATRICES ESPECIALES Y EL MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

La salida es:

Número de condición = 680.811600

Matriz inversa:
9.000033 –36.000180 30.000160
–36.000180 192.000900 –180.000800
30.000160 –180.000800 180.000800
Solución:
9.999986E–01
1.000010
9.999884E–01

Nuevamente, el número de condición es del mismo orden que el número de condición
basado en la norma renglón-suma del ejemplo 10.3 (451.2). Ambos resultados implican
que se podrían perder entre 2 y 3 dígitos de precisión. Esto se confirma en la solución,
donde se observa que el error de redondeo ocurre en los dos o tres últimos dígitos.

PROBLEMAS

11.1 Ejecute los mismos cálculos que en el ejemplo 11.1, pero 11.5 Ejecute a mano la descomposición de Cholesky del sistema
para el sistema tridiagonal siguiente: simétrico siguiente:
⎡ 08. − 04. ⎤ ⎧x 1 ⎫ ⎧ 41 ⎫ ⎡ 8 20 15⎤ ⎧ ⎫ ⎧ 50 ⎫
x
⎢ − ⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
1
04
⎢ –. 08. 04. ⎥ ⎨ x 2⎬ = ⎨ 25 ⎬ ⎢ 20 80 50 ⎨ ⎬ == ⎨ 250 ⎬
x
⎥
⎪ ⎪
2
⎪ ⎪
⎥
⎢ ⎣ − 04. 08. ⎦ x 3⎭ ⎪ ⎪ ⎭ ⎢ ⎣ 15 50 60 ⎦ ⎩ ⎭ ⎪ ⎪
⎩
⎩ 105
⎭
⎩ 100
⎥ x
3
11.2 Determine la matriz inversa del ejemplo 11.1 con base en
11.6 Haga los mismos cálculos que en el ejemplo 11.2, pero para
la descomposición LU y los vectores unitarios.
el sistema simétrico que sigue:
11.3 El sistema tridiagonal que sigue debe resolverse como
parte de un algoritmo mayor (Crank-Nicolson) para solucionar ⎡ 6 15 55 ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ 152 6. ⎫
a
0
ecuaciones diferenciales parciales: ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬
a
⎢ 15 55 225 ⎨ ⎬ = ⎨ 585 6.
⎥
1
⎪ ⎪
⎡ 2 01475. − 0 020875. ⎤ ⎢ ⎣ 55 225 979 ⎦ ⎩ ⎭ ⎪ ⎪ ⎭
⎩ 2488 8.
⎥ a
⎢ − ⎥ 2
0 020875
⎢ ⎢ –. 2 01475. 0..020875 ⎥ Además de resolver para la descomposición de Cholesky, em-
⎢ − 0 020875. . 2 01475 − . 0 020875⎥
⎢ ⎥ pléela para solucionar cuál es el valor de las a.
⎣ − . 0 020875 . 2 01475 ⎦ 11.7 a) Use el método de Gauss-Seidel para resolver el sistema
⎧ ⎫ ⎧ 4 175. ⎫ tridiagonal del problema 11.1 (e s = 5%). b) Repita el inciso a)
T
1
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ pero utilice sobre relajación con l = 1.2.
⎪
⎪ ⎪
T
2
× ⎨ ⎬ = ⎨ 0 ⎪ 11.8 Del problema 10.8, recuerde que el sistema de ecuaciones
⎬
T
⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ siguiente está diseñado para determinar concentraciones (las c
3
⎪ ⎪ ⎩ ⎪ están en g/m ) en una serie de reactores acoplados como fun-
3
⎭
⎩ ⎭
⎪2 0875.
T
4
ción de la cantidad de masa de entrada a cada uno de ellos (los
Utilice el algoritmo de Thomas para obtener una solución. lados derechos están en g/d),
11.4 Confirme la validez de la descomposición de Cholesky del
ejemplo 11.2 por medio de sustituir los resultados en la ecuación 15c 1 – 3c 2 – c 3 = 3 800
T
(11.2) con objeto de ver si el producto de [L] y [L] da como –3c 1 + 18c 2 – 6c 3 = 1 200
resultado [A]. –4c 1 – c 2 + 12c 3 = 2 350
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