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PROBLEMAS 325

Resuelva este problema con el método de Gauss-Seidel para b)
x
e s = 5%. ⎡ 1 4 9 16 ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ 30 ⎫
1
⎥ ⎪ ⎪
⎪
11.9 Repita el problema 11.8, pero use la iteración de Jacobi. ⎢ 4 9 16 25 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 54 ⎪
x
2
11.10 Emplee el método de Gauss-Seidel para resolver el siste- ⎢ ⎢ 16 25 36⎥ ⎥ ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬
x
ma siguiente hasta que el error relativo porcentual esté por de- ⎢ 9 ⎥ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪ 86 ⎪
4 ⎭
⎦ ⎩
⎭
x
bajo de e s = 5%, ⎣ 16 25 36 49 ⎪ ⎪ ⎩ 126⎪
10x 1 + 2x 2 – x 3 = 27 En ambos casos, las respuestas para todas las x deben ser 1.
–3x 1 – 6x 2 + 2x 3 = –61.5 11.16 Dado el par siguiente de ecuaciones simultáneas no lineales:
x 1 + x 2 + 5x 3 = –21.5
f(x, y) = 4 – y – 2x 2
11.11 Utilice el método de Gauss-Seidel a) sin relajación, y b) 2
g(x, y) = 8 – y – 4x
con relajación (l = 0.95), para resolver el sistema siguiente para
una tolerancia de e s = 5%. Si es necesario, reacomode las ecua- a) Use la herramienta Solver de Excel para determinar los dos
ciones para lograr convergencia. pares de valores de x y y que satisfacen estas ecuaciones.
b) Con el empleo de un rango de valores iniciales (x = –6 a 6,
–3x 1 + x 2 – 12x 3 = 50
y y = –6 a 6), determine cuáles valores iniciales producen
6x 1 – x 2 – x 3 = 3
cada una de las soluciones.
6x 1 + 9x 2 + x 3 = 40
11.17 Una compañía de electrónica produce transistores, resis-
11.12 Use el método de Gauss-Seidel (a) sin relajación, y (b) tores y chips de computadora. Cada transistor requiere cuatro
con relajación (l = 1.2), para resolver el sistema siguiente para unidades de cobre, una de zinc y dos de vidrio. Cada resistor
una tolerancia de e s = 5%. Si es necesario, reacomode las ecua- requiere tres, tres y una unidades de dichos materiales, respecti-
ciones para lograr convergencia. vamente, y cada chip de computadora requiere dos, una y tres
unidades de los materiales, respectivamente. En forma de tabla,
2x 1 – 6x 2 – x 3 = –38
esta información queda así:
–3x 1 – x 2 + 7x 3 = –34
–8x 1 + x 2 – 2x 3 = –20
Componente Cobre Zinc Vidrio
11.13 Vuelva a dibujar la figura 11.5 para el caso en que las
Transistores 4 1 2
pendientes de las ecuaciones son 1 y –1. ¿Cuál es el resultado de
Resistores 3 3 1
aplicar el método de Gauss-Seidel a un sistema como ése?
Chips de computadora 2 1 3
11.14 De los tres conjuntos siguientes de ecuaciones lineales,
identifique aquel(los) que no podría resolver con el uso de un
método iterativo tal como el de Gauss-Seidel. Demuestre que su Los suministros de estos materiales varían de una semana a la
solución no converge, utilizando cualquier número de iteraciones otra, de modo que la compañía necesita determinar una corrida
que sea necesario. Enuncie con claridad su criterio de conver- de producción diferente cada semana. Por ejemplo, cierta sema-
gencia (es decir, cómo se sabe que no está convergiendo). na las cantidades disponibles de los materiales son 960 unidades
de cobre, 510 unidades de zinc y 610 unidades de vidrio. Plantee
Conjunto uno Conjunto dos Conjunto tres el sistema de ecuaciones que modela la corrida de producción y
utilice Excel y la información que se da en este capítulo sobre la
9x + 3y + z = 13 x + y + 6z = 8 –3x + 4y + 5z = 6 solución de ecuaciones algebraicas lineales con Excel para re-
–6x + 8z = 2 x + 5y – z = 5 –2x + 2y – 3z = –3
2x + 5y – z = 6 4x + 2y – 2z = 4 2y – z = 1 solver cuál es el número de transistores, resistores y chips de
computadora por manufacturar esta semana.
11.18 Utilice el software de MATLAB para determinar el nú-
11.15 Emplee la librería o paquete de software de su preferencia mero de condición espectral para una matriz de Hilbert de di-
para obtener una solución, calcular la inversa y determinar el mensión 10. ¿Cuántos dígitos de precisión se espera que se
número de condición (sin dar escala) con base en la norma de pierdan debido a la condición anómala? Determine la solución
suma de renglones, para los sistemas para este sistema para el caso en que cada elemento del vector
a) del lado derecho {b} consiste en la suma de los coeficientes de
1 ⎡ 4 9 ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ 14⎫ su renglón. En otras palabras, resuelva para el caso en que todas
x
1
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ las incógnitas deben ser exactamente uno. Compare los errores
x
⎢ 4 9 16 ⎨ ⎬ = ⎨ 29 ⎬ resultantes con aquellos esperados con base en el número de
⎥
2
⎪ ⎪
⎢ ⎣ 9 16 25⎥ ⎦ ⎩ x 3 ⎭ ⎪ ⎩ 50 ⎪ ⎭ condición.
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