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18.2 POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE 517

EJEMPLO 18.6 Polinomios de interpolación de Lagrange

Planteamiento del problema. Con un polinomio de interpolación de Lagrange de
primero y segundo grado evalúe ln 2 basándose en los datos del ejemplo 18.2:

x = 1 f(x ) = 0
0
0
x = 4 f(x ) = 1.386294
1
1
x = 6 f(x ) = 1.791760
2
2
Solución. El polinomio de primer grado [ecuación (18.22)] se utiliza para obtener la
estimación en x = 2,
−
−
24 21
ƒ 2() = 0 + 1 386294. = 0 4620981.
−
−
1
14 41
De manera similar, el polinomio de segundo grado se desarrolla así: [ecuación (18.23)]
−
−
( 24 2)( − 6) ( 21 2)( − 6)
ƒ 2() = 0 + 1 386294.
−
−
2
( 14 1)( − 6) ( 41 4)( − 6)
−
+ ( 21 2)( − 4) 1 791760. = 0 5658444.
−
( 61 6)( − 4)
Como se esperaba, ambos resultados concuerdan con los que se obtuvieron antes al usar
el polinomio de interpolación de Newton.

Cuadro 18.1 Obtención del polinomio de Lagrange directamente a partir
del polinomio de interpolación de Newton

El polinomio de interpolación de Lagrange se obtiene de mane- conocida como la forma simétrica. Al sustituir la ecuación
ra directa a partir de la formulación del polinomio de Newton. (B18.1.2) en la (18.2) se obtiene
Haremos esto únicamente en el caso del polinomio de primer
grado [ecuación (18.2)]. Para obtener la forma de Lagrange, fx( ) = f x() + x − x 0 fx( ) + x − x 0 fx()
reformulamos las diferencias divididas. Por ejemplo, la primera 1 0 x − x 0 1 x − x 1 0
0
1
diferencia dividida,
Por último, al agrupar términos semejantes y simplificar se ob-
fx() –
fx( )
fx x[, ] = 1 0 (B18.1.1) tiene la forma del polinomio de Lagrange,
1 0
x – x 0
1
x − x x − x
se reformula como fx() = x − x 1 1 fx ( ) + x − x 0 0 fx ( )
0
1
1
1
0
()
()
ƒ[, 0 ] = fx 1 + fx 0 (B18.1.2)
xx
1
x 1 – x 0 x 0 – x 1
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