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522 INTERPOLACIÓN

graficar x contra f(x)] y usar un procedimiento como la interpolación de Lagrange para
determinar el resultado. Por desgracia, cuando usted invierte las variables no hay garan-
tía de que los valores junto con la nueva abscisa [las f(x)] estén espaciados de una ma-
nera uniforme. Es más, en muchos casos, los valores estarán “condensados”. Es decir,
tendrán la apariencia de una escala logarítmica, con algunos puntos adyacentes muy
amontonados y otros muy dispersos. Por ejemplo, para f(x) = 1/x el resultado es

f (x) 0.1429 0.1667 0.2 0.25 0.3333 0.5 1

x 7 6 5 4 3 2 1

Tal espaciamiento no uniforme en las abscisas a menudo lleva a oscilaciones en el
resultado del polinomio de interpolación. Esto puede ocurrir aun para polinomios de
grado inferior.
Una estrategia alterna es ajustar un polinomio de interpolación de orden n-ésimo,
f (x), a los datos originales [es decir, con f(x) contra x]. En la mayoría de los casos, como
n
las x están espaciadas de manera uniforme, este polinomio no estará mal condicionado.
La respuesta a su problema, entonces, consiste en encontrar el valor de x que haga este
polinomio igual al dado por f(x). Así, ¡el problema de interpolación se reduce a un pro-
blema de raíces!
Por ejemplo, para el problema antes descrito, un procedimiento simple sería ajustar
los tres puntos a un polinomio cuadrático: (2, 0.5), (3, 0.3333) y (4, 0.25), cuyo resulta-
do será

f (x) = 1.08333 – 0.375x + 0.041667x 2
2
La respuesta al problema de interpolación inversa para determinar la x correspondiente
a f(x) = 0.3 será equivalente a la determinación de las raíces de
0.3 = 1.08333 – 0.375x + 0.041667x 2

En este caso simple, la fórmula cuadrática se utiliza para calcular

.
) .
0 375 ± (– . 2 − 4 0 041667 0 78333 5 704158
.
0 375)
( .
x = =
.
(.
2 0 041667) 3 295842
Así, la segunda raíz, 3.296, es una buena aproximación al valor verdadero: 3.333. Si se
desea una exactitud adicional, entonces podría emplear un polinomio de tercer o cuar-
to grado junto con uno de los métodos para la localización de raíces analizado en la
parte dos.
18.5 COMENTARIOS ADICIONALES
Antes de proceder con la siguiente sección, se deben mencionar dos temas adicionales:
la interpolación y extrapolación con datos igualmente espaciados.
Como ambos polinomios, el de Newton y el de Lagrange, son compatibles con
datos espaciados en forma arbitraria, usted se preguntará por qué nos ocupamos del caso
especial de datos igualmente espaciados (cuadro 18.2). Antes de la llegada de las

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