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18.4 INTERPOLACIÓN INVERSA 521

Un método directo para calcular los coeficientes de este polinomio se basa en el
hecho de que se requieren n + 1 puntos para determinar los n + 1 coeficientes. Así, se
utiliza un sistema de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas para calcular las a. Por
ejemplo, suponga que usted desea calcular los coeficientes de la parábola
f(x) = a + a x + a x 2 (18.25)
1
2
0
Se requiere de tres puntos: [x , f(x )], [x , f(x )] y [x , f(x )]. Cada uno se sustituye en la
0
1
1
2
0
2
ecuación (18.25):
2
f(x ) = a + a x + a x 0
2
0
1 0
0
2
f(x ) = a + a x + a x 1 (18.26)
1 1
2
0
1
2
f(x ) = a + a x + a x 2
2
0
1 2
2
De esta manera, las x son los puntos conocidos, y las a las incógnitas. Como hay el
mismo número de ecuaciones que de incógnitas, la ecuación (18.26) se podría resolver
con uno de los métodos de eliminación de la parte tres.
Debe observarse que el procedimiento anterior no es el método de interpolación
más eficiente para determinar los coeficientes de un polinomio. Press et al. (1992) ofre-
cen un análisis y códigos para computadora de los procedimientos más eficientes.
Cualquiera que sea la técnica empleada, se debe hacer una advertencia. Sistemas como
los de la ecuación (18.26) están notoriamente mal condicionados. Ya sea que se resuelvan
con un método de eliminación o con un algoritmo más eficiente, los coeficientes resul-
tantes pueden ser bastante inexactos, en particular para n grandes. Si se usan para una
interpolación subsecuente, a menudo dan resultados erróneos.
En resumen, si usted se interesa en determinar un punto intermedio, emplee la in-
terpolación de Newton o de Lagrange. Si tiene que determinar una ecuación de la forma
de la (18.24), limítese a polinomios de grado menor y verifique cuidadosamente sus
resultados.
18.4 INTERPOLACIÓN INVERSA
Como la nomenclatura implica, los valores de f(x) y x en la mayoría de los problemas de
interpolación son las variables dependiente e independiente, respectivamente. En con-
secuencia, los valores de las x con frecuencia están espaciados uniformemente. Un
ejemplo simple es una tabla de valores obtenida para la función f(x) = 1/x,
x 1 2 3 4 5 6 7

ƒ(x) 1 0.5 0.3333 0.25 0.2 0.1667 0.1429
Ahora suponga que usted debe usar los mismos datos, pero que se le ha dado un
valor de f(x) y debe determinar el valor correspondiente de x. Por ejemplo, para los datos
anteriores, suponga que se le pide determinar el valor de x que corresponda a f(x) = 0.3.
En tal caso, como se tiene la función y es fácil de manipular, la respuesta correcta se
determina directamente, x = 1/0.3 = 3.3333.
A ese problema se le conoce como interpolación inversa. En un caso más compli-
cado, usted puede sentirse tentado a intercambiar los valores f(x) y x [es decir, tan sólo

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