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558 APROXIMACIÓN DE FOURIER

INDICE f(t) REAL IMAGINARIA
0 1.000 0.000 0.000
1 0.707 0.000 0.000

2 0.000 0.500 0.000
3 –0.707 0.000 0.000
4 –1.000 0.000 0.000
5 –0.707 0.000 0.000
6 0.000 0.000 0.000
7 0.707 0.000 0.000

8 1.000 0.000 0.000
9 0.707 0.000 0.000
10 0.000 0.000 0.000
11 –0.707 0.000 0.000
12 –1.000 0.000 0.000
13 –0.707 0.000 0.000

14 0.000 0.500 0.000
15 0.707 0.000 0.000

FIGURA 19.13
Resultados obtenidos con un programa basado en el algoritmo de la fi gura 19.12 para la
TDF con los datos generados por una función coseno f (t ) = cos[2p(12.5)t] en 32 puntos con
∆ t = 0.01 s.

19.6 TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER

Aunque el algoritmo descrito en la sección anterior calcula de manera adecuada la TDF,
2
es computacionalmente laborioso debido a que se requieren N operaciones. En conse-
cuencia, aún muestras de un tamaño moderado, la determinación directa de la TDF
llega a consumir mucho tiempo.
La transformada rápida de Fourier, o TRF, es un algoritmo que se desarrolló para
calcular la TDF en una forma extremadamente económica. Su velocidad proviene del
hecho de que utiliza los resultados de cálculos previos para reducir el número de opera-
ciones. En particular, aprovecha la periodicidad y simetría de las funciones trigonomé-
tricas para calcular la transformada con aproximadamente N log N operaciones (véase
2
figura 19.14). Así, para N = 50 muestras, la TRF es cerca de 10 veces más rápida que la
TDF estándar. Para N = 1 000, es alrededor de 100 veces más rápida.
El primer algoritmo para la TRF fue desarrollado por Gauss a principios del siglo
XIX (Heideman y cols., 1984). Otras contribuciones importantes fueron hechas por Run-
ge, Danielson, Lanczos y otros a comienzos del siglo XX. Sin embargo, como calcular

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