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560 APROXIMACIÓN DE FOURIER

k ∑
F = N−1 f e i − 2 ( π / ) para k = 0 a N −1 (19.32)
N nk
n
k=0
donde 2p/N = w . La ecuación (19.32) se expresa también como
0
k ∑
F = N−1 f W nk
n
n=0
donde W es una función ponderada de valor complejo definida como

W = e –i(2p/N) (19.33)
Suponga ahora que la muestra se divide a la mitad y la ecuación (19.32) se expresa
en términos de los primeros y últimos N/2 puntos:
N 21)
N−1
k ∑
F = (/ − f e i − 2( π / ) + ∑ f e i − 2( π / )
N kn
N kn
n
n
=
n=0 nN 2/
donde k = 0, 1, 2,…, N – 1. Se crea una nueva variable, m = n – N/2, para que los límites
de la segunda sumatoria sean consistentes con la primera,
N 21)
N 21)
∑
k ∑
F = (/ − f e i − 2( π / ) + (/ − f mN 2/ e i − 2( π / N k m N 2) ( + / )
N kn
+
n
n=0 m=0
o
N 21)
k ∑
F = (/ − ( f + e − ik π f nN 2/ e ) i − 2π kn N (19.34)
/
+
n
n=0
–i k
k
Ahora, advierta que el factor e p = (–1) . De esta forma, para puntos pares es igual
a 1 y para los impares es igual a –1. Por lo tanto, el siguiente paso en el método consis-
te en separar la ecuación (19.34) de acuerdo con valores pares o impares de k. Para los
valores pares,
N 21
N 21
∑
k ∑
F = (/ − ) ( f + f n N 2 / e ) − π 2 ) / = (/ − ) ( f + f n N 2 / e ) − i2π kn N 2 / )
i2 (
/(
k n N
+
+
n
n
2
=
=
n 0 n 0
y para los valores impares,
N 21
k 1 ∑
i2 (
k 1) /
F 2 + = (/ − ) ( f − f n N 2 / e ) − π 2 + n N
+
n
=
n 0
(/ − )
N 21
= ∑ ( f − f n N 2 / e ) − i2π n N − i2π kn N 2 / )
/(
/
e
+
n
=
n 0
para k = 0, 1, 2, …, (N/2) – 1.
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