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19.6 TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER 561

Estas ecuaciones se expresan también en términos de la ecuación (19.33). Para los
valores pares,
N 21
k ∑
F = (/ − ) ( f + f n N 2 / ) W 2 kn
+
n
2
=
n 0
y para los valores impares,
N 21− )
(/
=
n
F k 1+ ∑ ( f − f ) W W 2 kn
2 n n N 2+ /
n 0=
Ahora, realizaremos una observación clave: esas expresiones pares e impares se
pueden interpretar como si fueran iguales a las transformadas secuenciales de longitud
(N/2)
g = f + f n+N/2 (19.35)
n
n
y
h = (f – f n+N/2 )W n para n = 0, 1, 2,…, (N/2) – 1 (19.36)
n
n
De esta manera, en forma directa resulta que
F = G ⎫
2 k k ⎬ para k = 012 …, , , , ( N 2 −/ ) 1
F 2 + = H k ⎭
k 1
En otras palabras, se remplazó un cálculo de N puntos por dos cálculos de (N/2)
2
puntos. Puesto que cada uno de los últimos requiere aproximadamente (N/2) multipli-
caciones y sumas complejas, el procedimiento permite un ahorro de un factor de 2 (es
2
2
2
decir, N contra 2(N/2) = N /2).
El esquema se ilustra en la figura 19.15 para N = 8. La TDF se calcula formando
n
n
primero la secuencia g y h y calculando después las N/2 TDF para obtener las transfor-
n
madas numeradas pares e impares. Algunas veces los pesos W se llaman factores de
giro.
Ahora es claro que este procedimiento de “divide y vencerás” se puede repetir en
la segunda etapa. Así, calculamos la TDF de N/4 puntos de las cuatro secuencias de N/4
compuestas de los primeros y últimos N/4 puntos de las ecuaciones (19.35) y (19.36).
Se continúa la estrategia hasta su inevitable conclusión, cuando N/2 de TDF de dos
puntos se hayan calculado (figura 19.16). El número total de cálculos para el cálculo
completo es del orden de N log N. La diferencia entre este nivel de esfuerzo y el de la
2
TDF estándar (figura 19.14) ilustra por qué es tan importante la TRF.
Algoritmo computacional. Es relativamente sencillo expresar la figura 19.16 como
un algoritmo. Como en el caso del algoritmo para la TDF de la figura 19.12, se usará la
identidad de Euler,
±ia
e = cos a ± i sen a
para implementar el algoritmo en lenguajes que no emplean en forma explícita variables
complejas.

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