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19.5 TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER (TDF) 557

N−1
ω
f = 1 ∑ Fe i 0 n para n = 0 a N −1 (19.28)
n
k
N
k=0
donde w = 2p/N
0
Las ecuaciones (19.27) y (19.28) representan las análogas discretas de las ecuaciones
(19.26) y (19.25), respectivamente. Como tales, ellas se emplean para calcular tanto la
transformada directa como la inversa de Fourier, para datos discretos. Aunque es posible
realizar tales cálculos a mano, son bastante laboriosos. Como lo expresa la ecuación
2
(19.27), la TDF requiere N operaciones complejas. Así, es necesario desarrollar un al-
goritmo computacional para implementar la TDF.

Algoritmo computacional para la TDF. Observe que el factor l/N en la ecuación
(19.28) es sólo un factor de escala que se puede incluir tanto en la ecuación (19.27) como
en la (19.28), pero no en ambas. En nuestro algoritmo computacional, lo incluiremos en
la ecuación (19.27) para que el primer coeficiente F (que es el análogo del coeficiente
0
continuo a ) sea igual a la media aritmética de las muestras. También, usaremos la
0
identidad de Euler para implementar un algoritmo con lenguajes que no contengan datos
de variables complejas,
±ia
e = cos a ± i sen a
y después volver a expresar las ecuaciones (19.27) y (19.28) como
1 N
F = ∑ f [ cos( kω n −) if sen k ( ω n)] (19.29)
k
N n 0 n 0
n=0
y
n ∑
f = N−1 [ F cos( kω 0 n +) iF sen k ( ω 0 n)] (19.30)
k
k
k=0
El seudocódigo para implementar la ecuación (19.29) se muestra en la figura 19.12.
Este algoritmo se puede desarrollar como un programa computacional para calcular la
TDF. Los resultados de tal programa se tienen en la figura 19.13 para el análisis de una
función coseno.

FIGURA 19.12
Seudocódigo para el cálculo de la TDF.

DOFOR k = 0, N – 1
DOFOR n = 0, N – 1
angle = kω 0 n
real k = real k + f n cos(angle)/N
imaginary k = imaginary k – f n sin(angle)/N
END DO
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