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628 FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN DE NEWTON-COTES

donde ƒ″(x ) es la segunda derivada en un punto x , localizado en el segmento i. Este
i i
resultado se simplifica al estimar la media o valor promedio de la segunda derivada en
todo el intervalo como [ecuación (PT6.3)]
n
∑ ′′ f ()ξ i
f ′′ ≅ = i 1 (21.12)
n
–
Por lo tanto, Σƒ′′(x ) ≅ nƒ ′′ y la ecuación (21.11) se reescribe como
i
ba)
E = (– 3 f ′′ (21.13)
a 2
12 n
Así, si se duplica el número de segmentos, el error de truncamiento se divide entre cua-
tro. Observe que la ecuación (21.13) es un error aproximado debido a la naturaleza
aproximada de la ecuación (21.12).

EJEMPLO 21.2 Regla del trapecio de aplicación múltiple
Planteamiento del problema. Use la regla del trapecio con dos segmentos para esti-
mar la integral de
4
f(x) = 0.2 + 25x – 200x + 675x – 900x + 400x 5
2
3
desde a = 0 hasta b = 0.8. Emplee la ecuación (21.13) para estimar el error. Recuerde
que el valor correcto para la integral es 1.640533.
Solución. n = 2(h = 0.4):
f(0) = 0.2 f(0.4) = 2.456 f(0.8) = 0.232

0 2. + 2 2 456( . ) + 0 232.
I = 08. = 1 0688.
4
E = 1.640533 – 1.0688 = 0.57173 ε = 34.9%
t t
. 08 3
E = – 2 (–60 ) = .0 64
a
12 ()2
donde –60 es el promedio de la segunda derivada, determinada anteriormente en el
ejemplo 21.1.

Los resultados del ejemplo anterior, junto con aplicaciones de la regla del trapecio
con tres a diez segmentos, se resumen en la tabla 21.1. Observe cómo el error disminuye
conforme aumenta el número de segmentos. Sin embargo, advierta también que la razón
de disminución es gradual, a causa de que el error está relacionado inversamente con el
cuadrado de n [ecuación (21.13)]. Por lo tanto, al duplicar el número de segmentos,
el error se divide entre cuatro. En las siguientes secciones desarrollaremos fórmulas de
grado superior que son más exactas y que convergen más rápido hacia la verdadera inte-
gral conforme los segmentos aumentan. Sin embargo, antes de investigar tales fórmulas,
analizaremos algoritmos computacionales para implementar la regla del trapecio.

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