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21.2 REGLAS DE SIMPSON 633

Cuadro 21.3 Obtención y estimación del error de la regla
de Simpson 1/3

Como se hizo en el cuadro 21.2 para la regla del trapecio, la ⎡ α 2 ⎛ α 2 α 2 ⎞
()
regla de Simpson 1/3 se obtiene al integrar el polinomio de in- I = h ⎢ α fx +() ∆ fx + ⎜ − ⎟ ∆ 2 fx()
⎠
0
0
0
terpolación de Newton-Gregory hacia adelante (cuadro 18.2): ⎣ 2 ⎝ 6 4
⎛ α 4 α 3 α 2 ⎞ 3
⎡ ∆ 2 + ⎜ − + ⎟ ∆ fx()
0
⎠
x 2
I = ⎢ ∫ f x + ∆ f x ()α + fx () α (α −1) ⎝ 24 6 6
0
()
x 0 ⎣ 0 0 2 ⎛ α 5 α 4 11 α 3 α 2 ⎞ ⎤ 2
4
∆ 3 fx () + ⎜ − + − f ⎟ () 4 ξ () h ⎥
+ 0 αα −1)(α − 2) ⎝120 16 72 8 ⎠
(
6 ⎦ 0
+ f 4 () () ξ αα −1)(α − 2)(α − 3) h 4 ⎤ ⎥ dx y evaluando en los límites se obtiene
(
24 ⎦ ⎡ ∆ 2
fx + 2∆
I = h 2 () fx +() fx()
0
⎢
0
0
Observe que se escribió el polinomio hasta el término de cuarto ⎣ 3
grado, en lugar de hasta el de tercer grado como se esperaría. La + 0 ()∆ 3 fx −( ) 1 f 4 () (ξ h ) 4 ⎤ (C21.3.1)
razón de esto se verá un poco después. Advierta también que los 0 90 ⎥ ⎦
límites de integración van de x a x . Por lo tanto, cuando se
0 2
realizan las sustituciones para simplificar (recuerde el cuadro Observe el resultado significativo de que el coeficiente de la
21.2), la integral es de α = 0 a 2: tercera diferencia dividida es cero. Debido a que ∆f(x ) = f(x )
1
0
2
– f(x ) y ∆ f(x ) = f(x ) – 2f(x ) + f(x ), la ecuación (C21.3.1) se
0 0 2 1 0
2 ⎡ ∆ 2 fx () reescribe como
I = h ⎢ ∫ fx + ∆ fx ()α + 0 α (α −1)
()
0 ⎣ 0 0 2 I = h [( fx +( ) fx( )] − 1 f 4 () (ξ h ) 5
fx + 4)
1
0
3

∆ 3 fx () 2 90
+ 0 αα −1)(α − 2) Regla de Simpson 1/3 Error de truncamiento
(
6
+ f 4 () () ξ αα −1)(α − 2)(α − 3) h 4 ⎤ ⎥ dα Así, el primer término es la regla de Simpson 1/3 y el segundo
(
24 ⎦ es el error de truncamiento. Puesto que se suprime la tercera
diferencia dividida, se obtiene el resultado significativo de que
que al integrarse tiene la fórmula tiene una precisión de tercer orden.
EJEMPLO 21.4 Aplicación simple de la regla de Simpson 1/3
Planteamiento del problema. Con la ecuación (21.15) integre
f(x) = 0.2 + 25x – 200x + 675x – 900x + 400x 5
3
3
2
desde a = 0 hasta b = 0.8. Recuerde que la integral exacta es 1.640533
Solución.
f(0) = 0.2 f(0.4) = 2.456 f(0.8) = 0.232
Por lo tanto, la ecuación (21.15) se utiliza para calcular
0 2. + 4 2 456( . ) + 0 232.
I ≅ 08. = 1 367467.
6
que representa un error exacto de
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