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31.3 PROBLEMAS BIDIMENSIONALES 921

de donde se obtiene

ux y −
a = 1 [( x y +) u x y −( x y +) u x y −( x y )] (31.29)
0
2 A 1 2 3 3 2 2 3 1 1 3 3 12 21
e
a = 1 [( y ) + u y( − y ) + u y( − y )] (31.30)
uy −
11 , 1 2 3 2 3 1 3 1 2
2 A
e
ux −
a = 1 [( x ) + u x( − x ) + u x( − x )] (31.31)
12 , 1 3 2 2 1 3 3 2 1
2 A e
donde A es el área del elemento triangular,
e
A = 1 [( x y − x y +)( x y − x y +)( x y − x y )]
1 3
12
21
2 3
3 1
3 2
e
2
Las ecuaciones (31.29) a (31.31) se sustituyen en la ecuación (31.28). Después de
reagrupar términos semejantes, el resultado se expresa como sigue:
u = N u + N u + N u (31.32)
1 1 2 2 3 3
donde
N = 1 [( xy − x y + ( y − y x + ( x − x y ) ]
)
)
1
2 A 2 3 3 2 2 3 3 2
e
N = 1 [( xy − x y + ( y − y x + ( x − x y ) ]
)
)
1 3
3 1
1
1
3
3
2
2 A e
N = 1 [( xy − x y + ( y − y x + ( x − x y ) ]
)
)
3 1 2 2 1 1 2 2 1
2 A
e
La ecuación (31.32) permite predecir valores intermedios en el elemento, con base
en los valores de sus nodos. En la figura 31.10 se muestra la función de forma junto con
las funciones de interpolación correspondientes. Observe que la suma de las funciones
de interpolación es siempre igual a 1.
Como en el caso unidimensional, hay varios métodos para desarrollar las ecuacio-
nes del elemento, basados en la EDP y en las funciones de aproximación. Las ecuaciones
resultantes son considerablemente más complicadas que la ecuación (31.26). Sin embar-
go, como las funciones de aproximación son normalmente polinomios de grado inferior
como la ecuación (31.28), los términos de la matriz final del elemento consistirán de
polinomios de grado inferior y de constantes.
31.3.3 Condiciones en la frontera y ensamble
La incorporación de condiciones en la frontera y el ensamble de la matriz del sistema
también se hacen un poco más complicados cuando la técnica del elemento finito se
aplique a problemas en dos y tres dimensiones. Sin embargo, como en la deducción de

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