Page 1411 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

根据中值定理 (见 11.3 节), 对于在 [q, x] 上的某个 c, 左边部分等于

f' (c), 故 f' (c) > M . 这是不可能的, 因为 M 是 |f' (x)| 在 [a, b] 上
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的最大值. 类似的论证显示了 y = f (x) 总是位于那条向下倾的线的上

方.

现在, 我们可以来看看误差了. 在第一种最坏的情况中, 真正的区

域包括该条纹及一个边长为 h 与 M h 个单位的三角形; 在第二种最坏
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的情况中, 实际上从该条纹中去除了一个同样的三角形. 不管在哪一种

情况中, 可能会偏离的面积是这个三角形的面积, 即 平方单位.

剩下要做的就是, 用这个误差和条纹的个数 n 相乘, 会看到我们的近似

不可能再比 更糟了. 事实上, 我们可以拿掉 h 的某个因子, 并使

用等式 nh = (b - a) 将上述表达式写作 . 这就是我们想要

的了! 有时我们不是必须选择左端点的, 其他情形就请你来重复上述的

证明. (事实上, 如果你使用中点, 可以证明误差实际上仅仅是

. )

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